Аксиоматическая теория множеств. Теория множеств

Современная теория множеств строится на системе аксиом - утверждений, принимаемых без доказательства, - из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом является стандартной системой аксиом для теории множеств. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело - Френкеля с аксиомой выбора.

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом (1925), (1928), а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном (1937), Бернайсом (1937-1954) и Гёделем (1940). (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса (1937-1954) и Гёделя (1940), мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латин­ские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пони­мается как символ отношения принадлежности.
Следующим образом определим равенство:
Определение. Х=Y служит сокращением для формулы.
Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.
Определение. служит сокращением для формулы (включение).
Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (соб­ствен­ное включение).
Из этих определений легко следует
Предложение 1.
(а) Х = Y (X Y & Y X);
(b) Х = Х;
(с) Х = Y Y = Х;
(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);
(е) Х = Y (ZX ZY).
Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта «ин­терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)
Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.
Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).
Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен­ный класс).
В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.
Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ).
Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x1 A (x1) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)
П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для
ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

Х = Y (XZYZ).
Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

xyzu (u z u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

х y (у х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.
Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е. 1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.
Определение. y (y 0).
Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что
NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Z u = X u = Y)) ((M(X) M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:
Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y} u = X u = Y))
((M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0).
Можно до­казать, что NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})).
Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной па­рой классов Х и Y.
Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.
Предложение 3.
NBG x y u v ().
Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.
Oбобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной n-ки.
Определение
= Х,
Так, например, и
В дальнейшем индекс NBG в записи NBG опускается.
Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.
А к с и о м а В1. X u v (X u v) (- отношение).
А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y)
(пересечение).
А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (дополнение).
А к с и о м а В4. X Z u (u Z v (X)) (область
определения).
А к с и о м а В5. X Z u v (Z u X).
А к с и о м а В6. X Z u v w (Z X).
А к с и о м а В7. X Z u v w (Z X).
С помощью аксиом В2-В4 можно доказать
X Y 1Z u (u Z u X & u Y),
X 1Zu (u Z u x),
X 1Zu (u Z v (X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.
Определения
u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y).
u (u u X) (дополнение к классу X).
u (u D (X) v (X)) (об­ласть определения класса X).
(объединение классов Х и Y).
V = (универсальный класс).
X − Y = X ∩
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Zx1 …xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что
xixj (W1 xi xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
xixj (W2 xj xi),
и тогда, в силу
XZ u v (Z X),
существует класс W3 такой, что
xixj (W3 xj xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
XZ v1…vkuw (Z X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Далее, на основании
XZ v1…vmx1…xn (
ZX)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
x1 … xi xi+1 … xj (Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
XZ v1…vmx1…xn (Z X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и
XZ x v1…vm (Z x X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.
(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…xn (W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Теперь остается положить Z = .
(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что
x1…xn (Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и
x1…xn (Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс.
(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…xnx (W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Применим сперва
XZ x1 … xn (Z y (X)).
при X = и получим класс Z1 такой, что
x1 … xn (Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно x ψ.
Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула uv (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву:
Определение. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).
Определения. X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упо­рядоченных пар).
Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упо­рядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).
2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Zx (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.
Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех под­множеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X v & v Y).
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.
Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть φ (X) есть u (X =). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x =)).
Определение. x (x I u (x =)). (Отношение тож­дества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W(W Vn & x1…xn (W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его един­ственность вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок, удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).
Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим (Y) сокращенно через, тогда V2 & x1x2(Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.
2. Пусть φ есть v (Y). Обозначим через R(Y) выражение (v (Y)). Тогда u (u R(Y) v (Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D().
Заметим, что аксиомы В1 - В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас­сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

xyu (u y v (u v & v x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов мно­жества х является также множеством, т. е. x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

xyu (u y u x).
Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем назы­вать множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, x (M(P (х))).
Примеры.
P (0) = {0}.
P ({0}) = {0, {0}}.
P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.
Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая ак­сиома выделения.

xY zu (u z u x & u Y).
Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y су­ществует множество, со­стоящее из элементов, общих для х и Y. Следо­вательно, xY (M (x ∩ Y)), т. е. пересече­ние множества с классом есть множество.
Предложение 5. xY (Y x M (Y)) (т. е. подкласс множе­ства есть множество).
Доказательство. x (Y x Y ∩ x = Y) и x (M (Y ∩ x)).
Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответ­ст­вующий класс (предло­жение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих дан­ной предика­тивной формуле A(у), есть множество.
Однако для полного развития теории множеств потребуется ак­сиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько оп­ределений.
Определения Un (X) означает xyz (X & X y = z).
(X однозначен.)
Fnc (X) означает X V2 & Un (X). (X есть функция.)
Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Огра­ничение Х областью Y.)
Un1 (X) означает Un (X) & Un (). (X взаимно однозначен.)
X‘Y
Если существует единственное z такое, что X, то z = X‘y; в про­тивном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у - множество из области определения X, то X‘y есть значе­ние этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функ­циональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соот­ветствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение неко­торой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).
X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть об­ласть значений класса X, ограниченного областью Y.)

{\slider}{slider=- Аксиома замещения.}

x (Un (X) yu (u y v (X & v X))).
Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалент­ное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то об­ласть значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множест­вом, также есть множество.
Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных мно­жеств.

x (0 x & u (u x u {u} x)).
Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …
Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси­ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще­ствования классов В1-В7.
Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x x) ,т. е. х (х Y х х). (Такой класс Y суще­ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра­щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в силу тавтологии (A A) A & & A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем M(Y)(Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A & A)) B , получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара­доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).
Определения X Irr Y означает y (y Y X) & Rel (X).
(X есть иррефлексивное отношение на Y.)
X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &
& X &X & X X).
(X есть транзитивное отношение на Y.)
X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).
(X частично упорядочивает Y.)
X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v
X X).
X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X упорядочивает Y.)
X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &
& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &
& X))).
(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.
Следующие формулы эквивалентны:
Аксиома выбора (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y y (такая функция называется выбирающей функцией для х).
Мультипликативная аксиома (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое выбирающим множеством для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.
u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))
yu (u x 1w (w u ∩ y)).
Принцип в полне упорядочения (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).
Трихотомия (Trich): xy (x y y x).
Лемма Цорна (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
xy ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =
= v y))) v (v x &w (w x y))).
Доказательство.
1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x y, либо y x.
2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо­рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.
3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)
4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х1 -область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.
5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v х и v F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α

I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

За тысячи лет своего существования от простейших представлений о числе и фигуре математики пришла к образованию многих новых понятий и методов. Она превратилась в мощное средство изучения природы и гибкое орудие практики. XX век принес математике новые идеи, теории, расширилась сфера её применения. Математика занимает особое положение в системе наук - её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Но она ввела те основные понятия, которые используются в них. Таким понятием является понятие «множество», которое впервые возникло в математике и в настоящее время является общенаучным.

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В конце 19 века Георг Кантор, немецкий математик, основоположник теории множеств, дал интуитивное определение понятию «множеству» так: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое» . Такое определение множества потребовало введения трех символов .

Первый из них должен представлять множество как нечто «единое», т.е. являться представителем самого множества. В качестве такого символа принято применять любую прописную букву какого-либо алфавита: например, обозначать множества прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению.

Второй символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z.

Третий символ должен однозначно соотнести элемент множеству. В качестве соответствующего символа определен знак , который происходит от первой буквы греческого слова (быть). Запись определяет отношение: х есть элемент Х. Для того чтобы указать, что х не есть элемент Х, пишут .

Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории - так называемым парадоксам.

Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер
(элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х - множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То есть или ? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что , сразу приходим к противоречию: , и обратно.

В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .

На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств:

Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем.

Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики.

Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В.

Для пояснения данной аксиомы нам необходимо использовать термин «подмножество»: Если каждый элемент множества A является элементом множества Z, то говорят, что А - подмножество Z, и пишут . Символ именуется «включение». Если не исключается возможность ситуации, когда Z=A, то для того чтобы акцентировать на этом внимание, пишут .

Введя термин «подмножество», сформулируем аксиому 1 в символьном виде: .

Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.

Данная аксиома используется при пояснении декартова произведения множеств, где первоначальным понятием является «упорядоченная пара». Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, каждый из которых занимает в записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b).

Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит.

В символьном виде аксиому Z3 можно записать так: . На основании данной аксиомы и вытекающих из неё теорем указываются свойства операций множеств, описание которых будут изложены в пункте 3. Аксиомы Z1 и Z2 позволяют нам ввести понятие операции объединения, пересечения, дополнение, разности множеств.

Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).

Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество - натуральный ряд чисел.

Аксиома выбора (Z7) . Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция называется функцией выбора для заданного семейства.

Стоит отметить важность соответствующих аксиом, так как множества и отношения между ними являются предметом изучения любой математической дисциплины.

Укажем ещё одно важное открытие в теории множеств - изображение отношений между подмножествами, для наглядного представления . Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано. Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна, а в некоторых книгах их называют также диаграммами Эйлера-Венна . Диаграммы Эйлера-Венна используются не только в математике и логике, но и в менеджменте и других прикладных направлениях.

II. Отношения между множествами и способы их задания

Итак, под множествами понимается совокупность любых объектов, мыслимая как единое целое. Множества могут состоять их объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложение к самым разнообразным областям знания (математике, физике, экономике, лингвистике и т. д.).

Считают, что множество определяется своими элементами, то есть множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Различают два способа задания множеств.

1. перечисления элементов .

Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}.

Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел - бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}.

1. Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства.

Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.

Например, В={1,2,3}. Нетрудно заметить, что каждый элемент множества В - натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по - другому: или , и т.д.

При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .

Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества , т.е. множества, элементами которого являются числа . Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N = {1, 2, 3, 4, …} - множество натуральных чисел;

Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);

Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} - множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);

J - множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей, например: 1,23456342 …;, и др.)

R = (-∞; +∞) - множество действительных чисел.

Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)

Cтоит отметить, что все любые числовые множества можно задать с помощью числового промежутка. (Рис. 2)

Типы числовых промежутков

Множество С, рассмотренное выше, это числовое множество и его можно указать с помощью числового промежутка (Рис. 3)

Рисунок 3 - Числовой промежуток

Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.

В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым . Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2