Лингвистическая переменная. Раздел Fuzzy Logic Toolbox

Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.

(Конспект)

В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.

Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .

Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.

µ Ã : U 

µ Ã – называется функцией принадлежности.

Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).

По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:

Объединение:

, где

Перечисление:

Дополнение:

Алгебраическое произведение:

, где

n-арным нечетким отношением определенным на множествах называется нечеткое подмножество декартовых произведений

Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.

Композиция нечетких отношений

Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:

Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:

Степени принадлежности конкретных выражений

Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.

Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.

Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.

Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.

4) операция импликации

Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:

5) Эквивалентность

n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .

Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:

«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат

«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.

Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7

При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.

Пусть - нечеткое отображение

Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество

композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.

Пусть задано нечеткое высказывание  , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).

В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens

Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:

Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y

Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:

Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.

Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()

Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил

Если S 1 , то R 1 , иначе

Если S n , то R n , иначе

Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга

В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации.

Когда нечеткий вывод используется в контуре управления реальным объектом, на объект должно выдаваться четкое управляющее воздействие. Поэтому необходимо преобразовать нечеткое множество, формируемое на основе композиционного правила вывода, в четкое значение. Эта процедура называется процедурой дефаззификации. Чаще используется 2 способа дефаззификации:

1) Середина «плато»

2) Центр тяжести, определяется точка которая делит площадь нечеткого множества пополам.

2.9.1. Определение. Методами теории нечетких множеств описывают смысловые понятия, например, для понятия «надежность работы узла» можно определить такие составляющие, как «небольшая величина надежности узла», «средняя величина надежности узла», «большая величина надежности узла», которые задаются как нечеткие множества на базовом множестве, определяемом всеми возможными значениями величин надежности.

Обобщением описания лингвистических переменных с формальной точки зрения является введение нечетких и лингвистических переменных .

Нечеткой переменной называется тройка множеств , где a - наименование нечеткой переменной, X - область определения, - нечеткое подмножество в множестве X, описывающее ограничения на возможные значения переменной a .

Лингвистической переменной называется набор множеств , где b - название лингвистической переменной, T(b) – множество лингвистических (вербальных) значений переменной b , называемое еще терм-множеством лингвистической переменной, X - область определения, G - синтаксическое правило, имеющее форму грамматики, порождающее наименования aÎT(b) вербальных значений лингвистических переменных b , М - семантическре правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной a нечеткое множество, - смысл нечеткой переменной a .

Из определения следует, что лингвистической переменной называется переменная, заданная на количественной (измеряемой) шкале и принимающая значения, являющиеся словами или словосочетаниями естественного языка общения. Нечеткие переменные описывают значения лингвистической переменной. На рис. 2.20 показана взаимосвязь основных понятий.

Таким образом, лингвистическими переменными можно описать трудноформализуемые понятия в виде качественного, словесного описания. Лингвистическая переменная и все ее значения связываются при описании с конкретной количественной шкалой, которая по аналогии с базовым множеством иногда называется базовой шкалой.

Применяя лингвистические переменные, можно формализовать качественную информацию в системах управления, которая специалистами (экспертами) формулируется в словесной форме. Это позволяет строить нечеткие модели систем управления (нечеткие регуляторы).

2.9.2. Вид функций принадлежности. Рассмотрим требования, которые выдвигаются к виду функций принадлежности нечетких множеств, описывающих термы лингвистических переменных.

Пусть лингвистическая переменная содержит базовое терм-множество T={T i }, . Нечеткая переменная, соответствующая терму T i , задана множеством , где нечеткое множество . Определим множество С i как носитель нечеткого множества . Будем считать, что XÍR 1 , где R 1 - упорядоченное множество действительных чисел. Обозначим нижнюю границу множества X через infX=x 1 , а верхнюю границу - supX=x 2 .

Множество T упорядочим согласно выражению

"T i ,T j ÎT i>j«($xÎC i)("yÎC j)(x>y). (2.5)

Выражение (2.5) требует, чтобы терм, который имеет носитель, расположенный левее, получил меньший номер. Тогда терм-множество всякой лингвистической переменной должно удовлетворять условиям:

("T i ÎT)($xÎX)( ); (2.8)

("b)($x 1 ÎR 1)($x 2 ÎR 2)("xÎX)(x 1 . (2.9)

Условие (2.6) требует, чтобы значения функций принадлежности крайних термов (T 1 и T 2) в точках x 1 и x 2 соответственно равнялись единице и чтобы не допускался вид колоколобразных кривых, как это показано на рис. 2.21.

Рис.2.21

Условие (2.7) запрещает в базовом множестве X пар термов типа T 1 и T 2 , T 2 и T 3 . Для пары T 1 и T 2 отсутствует естественная разграниченность понятий. Для пары T 2 и T 3 отрезку не соответствует никакое понятие. Условие (2.7) запрещает существование термов типа T 4 , поскольку каждое понятие имеет по крайней мере один типичный объект. Условие (2.8) определяет физическое ограничение (в рамках задачи) на числовые значения параметров.

На рис. 2.22 приведен пример задания функций принадлежности термов «малое значение цены», «небольшое значение цены», «среднее значение цены», «достаточно большое значение цены», «большое значение цены» лингвистической переменной «цена товара».

2.9.3. Универсальные шкалы . Функции принадлежности строятся по результатам опросов экспертов. Однако порядок использования нечетких множеств, построенных по результатам опроса экспертов, имеет недостаток, который заключается в том, что изменение условий функционирования модели (объекта) требует корректировки нечетких множеств. Корректировка может быть осуществлена по результатам повторного опроса экспертов.

Одним из путей преодоления данного недостатка является переход к универсальным шкалам измерения значений оцениваемых параметров. Известная методика построения универсальных шкал предполагает описание частоты явлений и процессов, которая на качественном уровне в естественном языке определяется следующими словами и словосочетаниями: «никогда», «чрезвычайно редко», «редко», «ни редко ни часто», «часто», «очень часто», «почти всегда» (или им подобными). Человек этими понятиями пользуется для оценки субъективных частостей событий (отношение числа событий, характеризованных понятием, к общему числу событий).

Универсальная шкала строится на отрезке и представляет собой ряд пересекающихся колоколообразных кривых, соответствующих шкалируемым частотным оценкам. Универсальную шкалу лингвистической переменной для заданного оцениваемого параметра объекта управления строят по следующей процедуре.

1. По данным экспертного опроса определяется минимальное x min и максимальное x max значения переменной шкалы X .

2. Строятся по результатам экспертного опроса функции принадлежности нечетких множеств, описывающих значения лингвистической переменной, определенной на шкале X . На рис. 2.23 показан пример построения функций принадлежности , где a 1 , a 2 , a 3 - некоторые названия нечетких переменных.

3. Точки (x min ,0) и (x max ,1) соединяются прямой линией p 0 , которая является функцией отображения p 0:X® .

4. Переход от шкалы относительных частот появления событий к частотным оценкам, называемым квантификаторами, происходит следующим образом.

Для произвольной точки z на универсальной шкале строится ее прообраз на шкале X . Затем по функциям принадлежности нечетких множеств, соответствующих термам a 1 , a 2 , a 3 , определяются значения , которые принимаются в качестве значений соответствующих функций принадлежности в точке z на универсальной шкале . Функция p (p=p 0 в рассмотренном примере) определяется экспертным опросом, т.к. ее выбор влияет на адекватность модели исследуемому объекту.

2.9.4. Множественные функции отображения . Однозначное определение функции отображения p ограничивают возможности одновременного учета разных критериев в системе управления, которые могут даже находиться в антогонизме по отношению друг к другу, а также возможность одновременного учета различных условий управления, определяемых свойствами управляемого объекта.

Учет различных условий и критериев определяется субъективным подходом к решению задачи. Если же принять функцию отображения однозначного вида, то тем самым различные точки зрения будут сведены к «общему знаменателю» или фактически отвергнуты. Практика показывает, что при управлении трудноформализуемыми процессами учет всех вариантов субъективного воззрения повышает качество управления, увеличивая устойчивость к различного рода возмущениям. Однако следует заметить, что почти никогда не удается учесть в людях все условия, влияющие на выбор управления, и все характеристики объекта. Рассмотрим, как осуществляется формализованный учет условий управления при опросе экспертов в виде множественных функций отображения.

Пусть по опросам экспертов количественно и качественно определен состав состояний исследуемого объекта. Оценка состояний объекта производится по значениям признаков y i ÎY={y 1 ,y 2 ,…,y p } .

Все учесть невозможно, поэтому при оценке состояний лучше использовать нечеткие категории, а нечеткие определения значений параметров следует производить с известной степенью неуверенности в правильности определений. Действительно, всегда можно предположить, что есть некоторое множество признаков , не указанных экспертами по разным причинам: про них забыли; эксперты считают, что эти признаки не влияют на точность; эти параметры нельзя оценить, следствие сложностей технического характера.

Функциям отображения p i ÎP={p 1 ,p 2 ,…,p b } сопоставляются степени уверенности b(p i)Î , которые задаются экспертами. Также каждой функции отображения p i сопоставляется вес a(p i) , который соответствует уровню компетентности эксперта. Значения весов a(p i) определяются числами отрезка . Таким образом, множественная функция отображения P={p 1 ,p 2 ,…,p b } состоит из набора функций отображений p i , каждой из которых ставится в соответствие степень g(p i) , определяемая как конъюнкция степеней компетентности и уверенности в правильном определении функций отображения p i , т.е. g(p i) =a(p i)&b(p i) .

Практическое использование множественных функций показало, что в пределах определенной компетентности экспертов построенная множественная функция отображения хорошо согласуется с их индивидуальными мнениями о наиболее правдоподобном соответствии нечетких понятий точкам предметной шкалы X .

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

Нечеткая операция «И»

Задание нечетких множеств позволяет обобщить четкие логические операции в их нечеткие аналоги. Нечетким расширением операции «И» является триангулярная норма Т , Другим название T –нормы яляется S –конорма. На рис. 3.1 приведено схемотехническое предствление T –нормы.

Нечеткая операция «И» в общей форме определяется как отображение:

для которых выполняются аксиомы:

Аксиомы граничных условий T –нормы:

Аксиома упорядоченности:

В теории нечетких множеств существует бесчисленное количество нечетких операций «И», которые определяются способами задания операции (Т) при выполнении условий (3.1) - (3.2). В теории нечеткого управления применимы следующие способы задания операции (Т), перечисленные ниже.

Логическое произведение [Заде, 1973 г.]:

, "xÎR . (3.6)

Алгебраическое произведение [Бандлер, Кохоут, 1980 г.]:

, "xÎR , (3.7)

где «.» - произведение, принятое в классической алгебре.

Граничное произведение [Лукашевич, Гилес, 1976 г.]:

, (3.8)

где - символ граничного произведения.

Сильное, или драстическое (drastic), произведение [Вебер, 1983 г.]:

(3.9)

где D - символ сильного произведения.

На рис. 3.2 показана функция принадлежности при логическом, алгебраическом, граничном и сильном произведении нечетких множеств.

Нечеткая операция «ИЛИ»

Нечетким расширением операции «ИЛИ» является S –норма. Иногда применяют название T –конорма. На рис. 3.3 приведено схемотехническое предствление S –нормы.

Нечеткая операция «ИЛИ» определяется как отображение

для которого выполняются отображения:

Аксиомы граничных условий T –нормы:

, ; (3.10)

Аксиомы объединения (перечечения):

Аксиома упорядоченности:

Из бесконечного числа нечетких операций, удовлетворяющих аксиомам (3.10) – (3.14), в теории управления нашли применением следующие операции, перечисленные ниже.

Логическая сумма [Заде, 1973 г.]:

, "xÎR . (3.15)

Алгебраическая сумма [Бандлер и Кохоут, 1980 г.]:

, "xÎR , (3.16)

Граничная сумма [Лукашевич, Гилес, 1976 г.]:

, (3.17)

Сильная, или драстическое (drastic), сумма [Вебер, 1983 г.]:

(3.18)

Сравнение аксиом T –нормы с аксиомами S –нормы показывает, что различие в них состоит только в аксиомах граничных условий.

На рис. 3.4 показана функция принадлежности при логической, алгебраической, граничной и сильной сумме нечетких множеств.

Нечеткая операция «НЕ»

Операция нечеткого «НЕ» определяется как отображение , для которого выполняются аксиомы:

Множество отображений, удовлетворяющих аксиомам (3.19) – (3.21), являются нечетким отрицанием. Операция нечеткого отрицания в виде схемы показана на рис. 3.5.

Из бесконечного числа нечетких операций «НЕ», удовлетворяющих аксиомам (3.19) – (3.21), в теории управления нашли применение следующие операции, перечисленные ниже.

Нечеткое «НЕ» по Заде (1973) определяется как вычитание из единицы:

. (3.22)

Нечеткое «НЕ» по Сугено (1977) или l-дополнение определяется в виде формулы

. (3.23)

При l=0 уравнение (3.23) совпадает с уравнением (3.22).

Нечеткое «НЕ» по Ягеру (1980) определяется в виде формулы:

, (3.24)

где p>0 – параметр. При p=1 уравнение (3.24) совпадает с уравнением (3.22).

Для Т- норм и S- норм могут существовать различные варианты отрицаний из-за бесконечного числа возможных нечетких операций «НЕ». Однако, желательно выбирать такие варианты отрицаний, которые удовлетворяют условиям:

Эти условия по аналогии с четкой логикой называют нечеткими законами де Моргана. Операции (3.25) и (3.26) называют взаимно дуальными, т.к. в теории нечетких множеств доказывается, что из (3.25) следует (3.26) и, наоборот, из (3.26) следует (3.25).

Взаимно дуальными являются также следующие нечеткие операции:

; (3.29)

Алгебра нечетких выводов

3.4.1. База нечетких правил. В нечеткой логике существует понятие нечеткого предложения (fuzzy proposition). Нечеткое предложение определяется в виде высказывания « ». Символ «x » обозначает физическую величину (ток, напряжение, давление, скорость и прочее), символ « » обозначает лингвистическую переменную (ЛП), а символ «p » - аббревиатура proposition – предложение. Например, в высказывании «величина тока есть большая» физической переменной x является «величина тока», которая может быть измерена датчиком тока. Нечеткое множество определено ЛП «большая» и формализовано функцией принадлежности m А (х) . Связке «есть» соответствует операция упорядоченности в виде равенства, которая обозначается символом «=». Получает формализованный вид предложение « » .

Нечеткое предложение может состоять из нескольких отдельных нечетких предложений, соединенных между собой связками «И», «ИЛИ». Выбор логических связок «И», «ИЛИ» от смысла и контекста предложений, от взаимосвязи между ними. Отметим, что операции нечеткого «И» и «ИЛИ» по Заде (формулы (3.6) и (3.15)) в теории управления предпочтительны по отношению к остальным, т.к. они не имеют избыточности. Когда нечеткие предложения не являются эквивалентными, но коррелированны и взаимосвязаны, то возможно применение Т- норм и S- норм по Лукашевичу (формулы (3.8) и (3.17)).

Предложение p может быть представлено как нечеткое отношение Р с функцией принадлежности: . Для составления нечеткого предложения, состоящего из нескольких отдельных нечетких предложений, соединенных между собой связками «И», используют индикатор «если». В результате получаем систему условных нечетких высказываний:

.

Нечеткие предложения называютусловиями или предпосылками .

Множество условий позволяет построить множество выводов или заключений . В этом случае применяют индикатор «тогда».

Продукционное нечеткое правило (fuzzy rule) – это совокупность условий и выводов:

R 1: если x 1 = и x 2 = и …, тогда y 1 = и y 2 = и …

……………………………………………………………,

где символ R 1 – аббревиатура «rule» - правило.

Например , правило при управлении температурой воды сформулировано в следующем виде: «R 1 : если температура воды есть холодная и температура воздуха есть холодная, тогда проверни вентиль горячей воды влево на большой угол и вентиль холодной воды вправо на большой угол».

Нечеткие условия для решения задачи:

-x 1 - температура воды (измеряется датчиком); - холодная;

-x 2 - температура воздуха (измеряется датчиком); - холодная;

Нечеткие условия вывода:

-y 1 - угол поворота вентиля влево, - большой;

-y 2 - угол поворота вентиля вправо, – большой.

Данному лингвистическому нечеткому правилу соответствует формализованная запись:

R 1: если x 1 = и x 2 = , тогда y 1 = и y 2 = , (3.31)

где , , и – нечеткие множества, заданные функциями принадлежности.

Совокупность нечетких продукционных правил образует базу нечетких правил , где R i: если …, тогда …; . Для базы нечетких правил справедливы следующие свойства: непрерывность, непротиворечивость, полнота.

Непрерывность определена понятиями: упорядоченная совокупность нечетких множеств; прилегающие нечеткие множества.

Совокупность нечетких множеств {A i } называется упорядоченной , если для них задано отношение порядка: «<»:A 1 <…

Если совокупность нечетких множеств { } упорядочена, то множества и , и называются прилегающими при условии, что эти нечеткие множества являются перекрывающимися.

База нечетких правил называется непрерывной , если для правил

R k: если x 1 = и x 2 = , тогда y= и k’¹k

выполнены условия:

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ и являются прилегающими.

Непротиворечивость базы нечетких правил рассмотрим на примере . База нечетких правил для управления роботом задана в виде:

………………………………….

R i: если препятствие впереди, то двигайся влево,

R i +1: если препятствие впереди, то двигайся вправо,

……………………………………

База правил противоречива.

Пример непротиворечивой базы нечетких правил следующий:

R 1: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 2: если x 1 = или x 2 = , тогда y= ;

R 3: если x 1 = или x 2 = , тогда y= .

Если правила содержат два условия и один вывод, то эти правила представляют собой систему с двумя входами x 1 и x 2 и одним выходом y . Данная система может быть представлена в матричной форме:

x 2 x 1

y=
y=
y=
База нечетких правил непротиворечива.

Основополагающим математическим понятием является понятие переменной. В практических приложениях теории нечётких множеств обычно употребляют нечёткие и лингвистические переменные.
Нечёткие и лингвистические переменные используются при естественно-языковом описании различных объектов и явлений, при формализации процессов и принятии решений в трудноформализуемых ситуациях.
Особенностью человеческого мышления является способность анализировать и выбирать сведения, имеющие отношение к анализируемой проблеме, то есть способность оценивать разнородную информацию. Такая способность играет важную роль в описании сложных явлений и процессов.
Рассмотрим способность человека оценивать понятие «Температура». Во многих случаях при оценке значений температуры люди оперируют не числовой характеристикой, а нечётко выраженными понятиями, такими, как «низкая», «средняя», «нормальная», «высокая» и др. При этом, если речь идет об оценке температуры, например, в печах определенного типа, то человек-оператор легче ориентируется по качественной информации, такой, как «нормальная температура», чем по конкретному числовому значению.
При такой качественной оценке информации, отражающей характер явления или процесса, большую роль играет естественный язык, который позволяет выразить основные понятия.
Введем понятия нечёткой и лингвистической переменной, которые, как и обычная переменная, могут изменять свои значения.
Итак, нечёткая переменная характеризуется тройкой:
< ,Х ,С  >,
где – название нечёткой переменной;
Х – универсальное множество (конечное или бесконечное), то есть область определения нечёткой переменной;Х = {х };
С  = { х (х ) } – нечёткое подмножество множестваХ , представляющее собой нечёткое ограничение на значения переменнойх .
Пример 3.19. Пусть универсальное множествоХ = описывает область определения параметра – «Температура в реакторе». Этот параметр характеризует качество протекающего технологического процесса. Нечёткое множество, описывающее нечёткую переменную «Нормальная» (= «Нормальная»), человеком-оператором может быть представлено следующим образом:
С  = {(4800), (4810,3), (4820,4), (4830,5), (4841), (4851), (4861), (4870,5), (4880,4), (4890,3), (4900)}.
Очевидно, что при таком определении нечёткого множества С  для человека-оператора, управляющего температурой в реакторе, понятию «Нормальная температура» полностью соответствуют значения температуры от 484 до 486, в меньшей степени – значения температуры от 481 до 483 и от 487 до 489. Значения температуры в реакторе, которые меньше 481 и больше 489, понятием «Нормальная» охарактеризованы быть не могут, то есть не являются элементами носителя данного нечёткого множества.
Перейдем к рассмотрению лингвистической переменной, являющейся переменной более высокого порядка.
Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка.
Лингвистическая переменная характеризуется набором:
< ,Т  ,Х ,G, М >,
где – название лингвистической переменной;
Т β – терм-множество переменной, т. е. множество её значений, представляющих собой наименования нечётких переменных, областью определения каждой из которых является множествоХ с базовой переменнойх ;
Х – универсальное множество;
G– синтаксическое правило, порождающее термы множестваТ β ();
М – семантическое правило, ставящее в соответствия каждой нечёткой переменной Т β нечёткое множествоС  , причёмС  обозначает нечёткое подмножество множестваХ .
В более упрощенном виде лингвистическая переменная описывается кортежем: < ,Т β ,Х >.
Пример 3.20 . Значениями лингвистической переменной «Качество» (β= «Качество») могут быть: «Низкое», «Среднее», «Невысокое», «Высокое», «Очень высокое» и т.п. Каждое из этих значений является названием нечёткой переменной. Именно поэтому лингвистическая переменная считается переменной более высокого порядка.
Обсудим все составляющие понятия «лингвистическая переменная».
Обратимся к примеру 3.20. Прилагательные «Низкое», «Среднее» и т.д., определяющие лингвистическую переменную «Качество», отражают некоторый комплекс характеристик качества. Каждое из этих значений представляет собой ограничение, обусловленное названием и способом задания соответствующего нечёткого множества. С этой точки зрения определения качества «Очень высокое», «Чрезвычайно высокое», «Не очень высокое» и т.д. – названия нечётких множеств, образованных путем действия модификаторов «очень», «чрезвычайно», «не очень» на нечёткое множество «Высокое».
Совокупность значений лингвистической переменной составляет терм-множество этой переменной. Этим множеством может быть, вообще говоря, бесконечное число элементов.
Пример 3.21. Рассмотрим способы описания терм-множества лингвистической переменной «Качество»:
Т β (Качество) = {«Очень низкое», «Низкое», «Не низкое», «Среднее», «Скорее высокое, чем среднее», «Высокое», «Очень высокое»};
Т β (Качество) = «Очень низкое»«Низкое»«Не низкое»…«Очень высокое».
Терм, название которого состоит из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг другом, называется атомарным термом . Термы, состоящие из более одного атомарных термов, называютсясоставными термами. Формирование составного терма путём приписывания друг к другу цепочек-компонент называетсяконкатенацией , а приписываемые компоненты являютсяподтермам и составного терма.
При необходимости явно указать на то, что терм был порожден грамматикой G(синтаксическим правиломG), будем писать:
Т β * =Т β G(Т β),
где Т β * – составной терм.
Что же касается семантического правила М, то оно может быть выполнено с использованием одной из типовых операций над нечёткими множествами, рассмотренных в главе 3.2. Наиболее часто используются следующие модификаторы и соответствующие им операции над нечёткими множествами:
«не» – дополнение;
«очень» – концентрация;
«более или менее» – растяжение;
«и» – пересечение;
«или» – объединение.

Лингвистические переменные играют важную роль при построении нечётких моделей: с их помощью формализуется качественная информация об объекте принятия решения, представленная в словесной форме специалистами-экспертами. Принципиально важным является то, что любая лингвистическая переменная, как и все её значения, определяется конкретной количественной шкалой, называемой базовой шкалой . Отсюда вытекаетдругое определение лингвистической переменной:
Лингвистической переменной называется переменная, заданная на некоторой шкале (базовой шкале) и принимающая значения, являющиеся словами и словосочетаниями естественного языка. Значения лингвистической переменной описываются нечёткими переменными.
К названию лингвистической переменной и названиям её термов не предъявляется особых требований. С этими величинами, за которыми скрыт математический аппарат нечётких множеств, непосредственно работает эксперт, описывающий систему качественными или нечёткими понятиями. Однако к функциям, аппроксимирующим эти нечёткие понятия, а также к их взаимному расположению, предъявляются определённые требования.
Выделим ряд ограничений, которым должны удовлетворять термы лингвистических переменных. Пусть Т β – базовое терм-множество лингвистической переменной <,Т β ,Х >,Т β = {Т i },i = 1, 2, …,m . Каждому термуТ i Т β соответствует нечёткая переменная <Т i ,Х ,С i >.
Прежде всего, базовое терм-множество Т β должно бытьупорядочено в соответствии с выражением:

(Т i Т β)(Т j Т β)(i j )(х S С i )(y S С j )(x y ), (3.36)
где S С i – носитель нечёткого множества:
S С i = {x X   Sc i (x )  0 },
то есть это множество строгого уровня = 0
Выражение (3.36) означает, что терм, который имеет носитель, расположенный левее, получает меньший номер.
Ограничение, накладываемое на вид функций принадлежности , соответствующих базовым термам, выглядит так:

 Т 1 (х min) = 1, Tn (x max) = 1, (3.37)
где n – количество термов в базовом терм-множестве,х min иx max – границы универсального множестваХ , на котором определена лингвистическая переменная.
В соответствии с выражением (3.37) функции принадлежности термов Т 1 иT n должны быть аммодальными.
Следующее условие может быть определено как полнота и согласованность :

(Т i  Т β)(0  sup  C i  C (i +1) (x )  1). (3.38)
Это выражение означает, что должно соблюдаться естественное разграничение понятий, когда одна и та же точка универсального множества Х не может одновременно принадлежать (со степенью уверенности 1) двум и более термам. С другой стороны, каждое значение из области определения лингвистической переменной должно описываться хотя бы одним термом.
Очередное условие – нормальность – определяется следующим выражением:

(Т i Т β)(х Х : C i (x ) = 1). (3.39)
Каждое понятие в лингвистической переменной должно иметь хотя бы один эталонный или типичный объект.
Последнее условие – ограниченность :

(β)(х 1 R )(x 2 R )((x X )(x 1 x x 2)), (3.40)
где R – действительная ось.
Область определения Х должна быть ограничена конечным множеством точек, так как в любой задаче анализа и принятия решений существуют реальные ограничения на числовые значения параметров объектов.
На рис. 3.14 представлена лингвистическая переменная β с числом термов, равным 5, и проиллюстрировано невыполнение перечисленных условий и ограничений.
Рис. 3.14.Ограничения, накладываемые на базовые термы лингвистической переменной
Итак, при формировании базового терм-множества лингвистической переменной β были допущены следующие ошибки:
На границах универсального множества Х значения функций принадлежности термов, обозначающих минимальное и максимальное значение лингвистической переменной β, должны быть единичными. На рис. 3.14 термТ 1 имеет неправильный вид (унимодальный), а термТ 6 – правильный (аммодальный).

Запрещается существование в базовом терм-множестве T β пар термов типаТ 2 иТ 3 , так как отсутствует естественная ограниченность понятий, аппроксимируемых термами. Эти термы иллюстрируют невыполнение условия согласованности.
Условие полноты нарушается парой термов Т 3 иТ 4 , так как участку Х не соответствует никакое понятие.
В базовом терм-множестве запрещается наличие термов Т 5 , имеющихsup  C i (x )  1. Так как термы должны описываться нормированными функциями принадлежности, на рис. 3.14 нарушено условие нормальности.

Применение лингвистических переменных для описания сложноформализуемых систем на практике неизбежно ставит предварительную задачу формирования лингвистических переменных, то есть определения всех её компонент. Это, как правило, реализуется на основе опросов экспертов – высококвалифицированных специалистов в той области, для которой строится нечёткая модель с использованием лингвистической переменной. Особое внимание при этом уделяется формированию функций принадлежности нечётких множеств, являющихся термами базового терм-множества.
Процесс формирования лингвистической переменной включает в себя следующие этапы :
Определение множества термов лингвистической переменной и его упорядочение.

Построение числовой области определения лингвистической переменной.
Выяснение схемы опроса экспертов и проведение опроса.
Построение функций принадлежности для каждого терма лингвистической переменной.

На этапе 1 эксперт, формирующий лингвистическую переменную, задает количество термов множества Т β и названия соответствующих им нечётких переменных.
На этапе 2 описывается универсальное множество Х . Реализация этого этапа может сопровождаться рядом трудностей, вызванных типом лингвистической переменной. Так, например, вид универсального множества для лингвистической переменной «Температура в реакторе» очевиден – это будет некоторый интервал значений температуры, заданный на определенной температурной шкале, и значения температуры, определяющие границы интервала, также не вызовут у эксперта затруднений. Однако если требуется формализация понятия «Качество», которое определяется как «Высокое», «Среднее» или «Низкое», то возникает необходимость искусственно вводить числовое универсальное множествоХ R =(–; +), на котором будут определяться аппроксимируемые нечёткие понятия. Эта процедура позволит в дальнейшем использовать единые подходы для работы с лингвистическими переменными различных видов.
Этап 3 является ключевым при формировании лингвистической переменной. Выбранная на этом этапе схема проведения опроса эксперта (или экспертов) уже предполагает, что выбран и метод построения интересующих нас функций принадлежности.

При неформальном обсуждении понятия лингвистической переменной в §1 мы сформулировали, что лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, представляющее собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное красивый отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, представляющего собой ограничение, обусловленное нечеткой переменной красивый . С этой точки зрения термины очень красивый , некрасивый , чрезвычайно красивый , вполне красивый и т. д. - названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов очень , не , чрезвычайно , вполне и т. п. на нечеткое множество красивый . В сущности эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством красивый играют роль значений лингвистической переменной Внешность .

Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Возраст могут быть: молодой, немолодой, старый, очень старый, немолодой и не старый, вполне старый и т. п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной . Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной старый , представляет собой нечеткое подмножество множества вида
, , (5.1)
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной соответствуют два правила: (1) синтаксическое правило, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей названия значений переменной; (2) семантическое правило, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения. Эти правила составляют существенную часть описания структуры лингвистической переменной.
Рис. 5.1. Функции совместимости для значений и.
Поскольку лингвистическая переменная - переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, то и ее описание должно быть сложнее данного в определении 4.1 описания нечеткой переменной.
Определение 5.1. Лингвистическая переменная характеризуется набором , в котором - название переменной; (или просто ) обозначает терм-множество переменной , т. е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ; - синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее названия значений переменной , а – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т. е. нечеткое подмножество универсального множества . Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом. Конкатенация некоторых компонент составного терма является подтермом. Если - термы в , то можно представить в виде объединения
(5.2)
При необходимости явно указать на то, что был порожден грамматикой , будем писать .
Смысл терма определяется как ограничение на базовую переменную , обусловленное нечеткой переменной :
, (5.3)
имея в виду, что и, следовательно, можно рассматривать как нечеткое подмножество множества , имеющее название . Связь между ее лингвистическим значением и базовой переменной иллюстрируется на рис. 1.3.
Замечание 5.2. Для того чтобы избежать большого количества символов, целесообразно присваивать несколько значений некоторым символам, встречающимся в определении 5.1, полагаясь при этом на контекст для разрешения возможных неопределенностей. В частности:
а) Символ мы будем часто использовать для обозначения как названия самой переменной, так и общего названия ее значений. Аналогично, будет обозначать как общее название значений переменной, так и название самой переменной.
б) Будем пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и его названия. Так, символы ,и будут взаимозаменяемыми, хотя, строго говоря, как название (или ) не то же самое, что нечеткое множество . Другими словами, когда мы говорим, что терм (например, молодой) есть значение переменной (например, Возраст ), то имеем в виду, что действительное значение есть , а - просто название этого значения.
Пример 5.3. Возраст , т. е. , и пусть . Лингвистическим значением переменной Возраст может быть, например, старый , причем значение старый является атомарным термом. Другим значением может быть очень старый , т. е. составной терм, в котором старый - атомарный терм, а очень и старый - подтермы.
Значение более или менее молодой переменной Возраст - составной терм, в котором терм молодой - атомарный, а более или менее - подтерм. Терм-множество переменной Возраст можно записать следующим образом:
(5.4)
Здесь каждый терм является названием нечеткой переменной в универсальном множестве . Ограничение, обусловленное термом, скажем , есть смысл лингвистического значения старый . Таким образом, если определяется согласно (5.1), то смысл лингвистического значения старый определяется выражением
, (5.5)
или проще (см. замечание 5.2)
. (5.6)
Аналогичным образом смысл такого лингвистического значения, как очень старый , можно выразить так (см. рис. 5.1):
Уравнение назначения в случае лингвистической переменной принимает вид
откуда следует, что смысл, назначенный терму , выражается равенством
Другими словами, смысл терма получается путем применения семантического правила к значению терма , назначенному согласно правой части уравнения (5.8). Более того, из определения (5.3) следует, что идентично ограничению, обусловленному термом .
Замечание 5.4. В соответствии с замечанием 5.2(а) уравнение назначения будет обычно записываться в виде
, (5.10)
понимая это так, что старый - ограничение на значения базовой переменной , определяемое (5.1), - назначается лингвистической переменной Возраст . Важно отметить, что знак равенства в (5.10) не обозначает симметрического отношения, как в случае арифметического равенства. Так, бессмысленно записывать (5.11) в виде
Чтобы проиллюстрировать понятие лингвистической переменной, мы рассмотрим сначала очень простой пример, в котором содержит лишь небольшое число термов, а синтаксическое и семантическое правила тривиальны.
Пример 5.5. Рассмотрим лингвистическую переменную Число , конечное терм-множество которой имеет вид
где каждый терм представляет собой ограничение на значения базовой переменной в универсальном множестве
Предполагается, что эти ограничения - нечеткие подмножества множества и определяются они следующим образом:
, (5.15) с бинарным ограничением приближенно равны.
Чтобы назначить значение, скажем, приближенно равны лингвистической переменной , мы напишем
где, как и в (5.18), имеется в виду, что в качестве значения переменной назначается бинарное нечеткое отношение приближенно равны , являющееся бинарным ограничением на значения базовой переменной в универсальном множестве (5.20).
Рис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной
Замечание 5.7. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 4.3), лингвистическую переменную в смысле определения 5.1 можно уподобить жесткому саквояжу, в который можно помещать мягкие саквояжи, как показано на рис. 5.2. Мягкий саквояж соответствует нечеткой переменной, которая является лингвистическим значением переменной , а играет роль ярлыка на мягком саквояже.
Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество , которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной , можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества . В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное "КРАСИВЫЙ" отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества , которое является ограничением, обусловленным нечеткой переменной "КРАСИВЫЙ". С этой точки зрения термины "ОЧЕНЬ КРАСИВЫЙ", "НЕКРАСИВЫЙ", "ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО КРАСИВЫЙ", "ВПОЛНЕ КРАСИВЫЙ" и т.п. - названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов "ОЧЕНЬ, НЕ, ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО, ВПОЛНЕ" и т.п. на нечеткое множество "КРАСИВЫЙ". В сущности, эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством "КРАСИВЫЙ" играют роль значений лингвистической переменной "ВНЕШНОСТЬ".
Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная , в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной . Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:
Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной;

Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.

Определение . Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств , в котором:
Название переменной;
Обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ;
Синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;
Семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т.е. нечеткое подмножество универсального множества .
Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм , который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм , который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом .
Пример . Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "ТЕМПЕРАТУРА В КОМНАТЕ". Тогда оставшуюся четверку , можно определить так: