Дискретные и непрерывные модели. Дискретная модель Дискретная модель примеры

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ, модели, переменные и параметры которых являются дискретными величинами, т. е. величинами, принимающими конечное или счётное число значений; в задачах, связанных с такими моделями, множество допустимых решений также дискретно. При построении и анализе дискретных моделей используются математические методы дискретной математики, алгебраические и другие известные математические методы, а иногда требуется разработка новых.

Дискретные модели возникают в связи со многими задачами в экономике, управлении, технике и других прикладных областях. Задачи дискретных моделей, как и алгоритмы их решения, носят, как правило, комбинаторный характер, что обусловлено конечностью множества возможных вариантов решений. Среди разработанных дискретных моделей можно выделить следующие основные классы: дискретные модели транспортного типа и планирования перевозок, сетевые и потоковые дискретные модели, дискретные модели управления запасами, дискретные модели размещения, дискретные модели теории расписаний, дискретные модели логического проектирования, дискретные модели распределения ресурсов, дискретные модели формирования производственных систем, дискретные модели ранжирования и кластеризации. В качестве отдельных классов дискретных моделей рассматриваются стохастические и динамические модели. Большое внимание уделяется разработке дискретных экономико-математических моделей.

При исследовании дискретных моделей часто рассматриваются дискретные экстремальные задачи, нерегулярные задачи различных типов, задачи с разрывными целевыми функциями, многоэкстремальные задачи, задачи теории графов, задачи о покрытиях.

Методы и алгоритмы решения дискретных задач обычно носят комбинаторный характер. Основная идея этих методов состоит в выделении и отсеве (отбрасывании) подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных. Именно это составляет основу многих используемых в дискретных моделях алгоритмов. Наиболее часто применяются метод последовательного анализа вариантов, метод ветвей и границ, метод динамического программирования, метод последовательных расчётов, аппроксимационно-комбинаторный метод. Многие современные версии алгоритмов являются комбинированными, в рамках которых применяются элементы нескольких алгоритмов.

Лит.: Лихтенштейн В. Е. Модели дискретного программирования. М., 1971; Вагнер Г. Основы исследований операций: В 3 т. М., 1972-1973; Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М., 1973; Финкельштейн Ю. Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования. М., 1976; Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М., 1981; Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. М., 2000; Сигал И. Х., Иванова А. П. Введение в прикладное дискретное программирование: Модели и вычислительные алгоритмы. М., 2002.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Введение

Термин модель неоднозначен и охватывает чрезвычайно широкий круг материальных и идеальных объектов. Признаком, объединяющим такие, казалось бы, несопоставимые объекты как система дифференциальных уравнений математической физики и пара дамских туфель, выставленных на витрине, является их информационная сущность. Любая модель - идеальная или материальная, используемая в научных целях, на производстве или в быту - несет информацию о свойствах и характеристиках исходного объекта (объекта - оригинала), существенных для решаемой субъектом задачи. Модели - отражение знаний об окружающем мире.

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта - оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

1. Общие признаки и свойства моделей

Общие признаки моделей

1. Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.

2. Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.

3. Паре задача-объект соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.

4. Модель всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего.

5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

6. В частном случае роль объекта моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некая идеальная конструкция, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная.

Свойства моделей

1) конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

2) упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

3) приблизительность: действительность отображается моделью приблизительно;

5) информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

2. Материальные и идеальные модели

Классификация моделей

Каждая модель характеризуется тремя признаками:

1) принадлежностью к определённому классу задач (по классам задач);

2) указанием класса объектов моделирования (по классам объектов);

3) способом реализации (по форме представления и обработки информации).

Рассмотрим более подробно последний вид классификации. По этому признаку модели делятся на материальные и идеальные.

1 Материальные модели:

1.1 геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно-геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);

1.2 основанные на теории подобия, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);

1.3 аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).

Рассмотрим более подробно два последних пункта. Для парохода правильный выбор обводов, подбор гребного винта и согласование с характеристиками винта и корпуса мощности и скорости вращения вала - проблема № 1. По существу речь идет о необходимости оптимизировать взаимодействие системы корпус - винт - двигатель с обтекающей судно жидкой средой по критерию максимального КПД. Решение проблемы опытным путем невозможно по экономическим соображениям, не поддается она и теоретическому решению. Выход был найден на пути синтеза теории масштабного гидродинамического моделирования, т.е. экспериментальное исследование малых геометрически подобных моделей проектируемых судов в специальных бассейнах на основе теории подобия. Теория обеспечивала возможность достоверного переноса данных, полученных на модели, на «натуру», на свойства и характеристики реального, но еще не существующего судна. И сегодня методы масштабного физического моделирования сохраняют свое значение.

Аналоговое моделирование основано на том, что свойства и характеристики некоторого объекта воспроизводятся с помощью модели иной, чем у оригинала физической природы. Целый ряд явлений и процессов существенно различной природы описывается аналогичными по структуре математическими выражениями. Описываемые аналогичными математическими структурами разнородные объекты можно рассматривать как пару моделей, которые с точностью до свойств, учитываемых в математическом описании, взаимно отображают друг друга, причем коэффициенты, связывающие соответственные (сходственные) параметры, являются в этом случае размерными величинами.

2 Идеальные модели

2.1 неформализованные модели, т.е. системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу;

2.2 частично формализованные:

2.2.1 вербальные - описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента);

2.2.2 графические иконические - черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты);

2.2.3 графические условные - данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем;

2.2.4 вполне формализованные (математические) модели.

Основное отличие этого типа моделей от остальных состоит в вариативности - в кодировании одним знаковым описанием огромного количества конкретных вариантов поведения системы. Tак, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами описывают и движение массы на пружине, и изменение тока в колебательном контуре, и измерительную схему системы автоматического регулирования, и ряд других процессов. Однако еще более важно то, что в каждом из этих описаний одни и те же уравнения в буквенном (а вообще говоря, и в числовом) виде соответствуют бесконечному числу комбинаций конкретных значений параметров. Скажем, для процесса механических колебаний - это любые значения массы и жесткости пружины.

В знаковых моделях возможен дедуктивный вывод свойств, количество следствий в них обычно более значительно, чем в моделях других типов. Они отличаются компактной записью удобством работы, возможностью изучения в форме, абстрагированной от конкретного содержания. Все это позволяет считать знаковые модели наивысшей ступенью и рекомендовать стремиться к такой форме моделирования.

Заметим, что деление моделей на вербальные, натурные и знаковые в определенной степени условно. Так, существуют смешанные типы моделей, скажем, использующие и вербальные, и знаковые построения.

3. Непрерывные и дискретные математические модели

модель материальный скачкообразный дискретный

Будем предполагать, что возможно, хотя бы в принципе, установить и на некотором языке описания (например, средствами математики) охарактеризовать зависимость каждой из выходных переменных от входных. Связь между входными и выходными переменными моделируемого объекта в принципе может характеризоваться графически, аналитически, т.е. посредством некоторой формулы общего вида, или алгоритмически. Независимо от формы представления конструкта, описывающего эту связь, будем именовать его оператором вход-выход и обозначать через В.

Пусть М=М(X,Y,Z), где X - множество входов, Y - выходов, Z - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X Z Y.

Рассмотрим теперь наиболее существенные с точки зрения моделирования внутренние свойства объектов разного класса. При этом придется использовать понятие структура и параметры моделируемого объекта. Под структурой понимается совокупность учитываемых в модели компонентов и связей, содержащихся внутри объекта, а после формализации описания объекта - вид математического выражения, которое связывает его входные и выходные переменные (например: у=au+bv). Параметры представляют собой количественные характеристики внутренних свойств объекта, которые отражаются принятой структурой, а в формализованной математической модели они суть коэффициенты (постоянные переменные), входящие в выражения, которыми описывается структура (а и b).

Непрерывность и дискретность.

Все те объекты, переменные которых (включая, при необходимости, время) могут принимать несчетное множество сколь угодно близких друг к другу значений называются непрерывными или континуальными. Подавляющее большинство реальных физических и теоретических объектов, состояние которых характеризуется только макроскопическими физическими величинами (температура, давление, скорость, ускорение, сила тока, напряженность электрического или магнитного полей и т.д.) обладают свойством непрерывности. Математические структуры, адекватно описывающие такие объекты, тоже должны быть непрерывными. Поэтому при модельном описании таких объектов используется главным образом, аппарат дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Объекты, переменные которых могут принимать некоторое, практически всегда конечное число наперед известных значений, называются дискретными. Примеры: релейно-контактные переключательные схемы, коммутационные системы АТС. Основой формализованного описания дискретных объектов является аппарат математической логики (логические функции, аппарат булевой алгебры, алгоритмические языки). В связи с развитием ЭВМ дискретные методы анализа получили широкое распространение также для описания и исследования непрерывных объектов.

Свойство непрерывности и дискретности выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и входы, выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Z, Т, Х, Y ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность -- к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействий и др.) в общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояний системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Типичный пример последнего - замена непрерывной математической функции на набор ее значений в фиксированных точках.

Непрерывные математические модели

Для реализации ММ, представляемых ДУЧП или системами ОДУ, используются численные методы непрерывной математики, поэтому рассмотренные ММ называют непрерывными.

На рис. 1 показаны преобразования непрерывных ММ в процессе перехода от исходных формулировок задач к рабочим программам, представляющим собой последовательности элементарных арифметических и логических операций. Стрелками 1, 2 и 3 показаны переходы от описания структуры объектов на соответствующем иерархическом уровне к математической формулировке задачи. Дискретизация (4) и алгебраизация (5) ДУЧП по пространственным переменным осуществляются методами конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ). Применение МКР или МКЭ к стационарным ДУЧП приводит к системе алгебраических уравнений (АУ), а к нестационарным ДУЧП--к системе ОДУ. Алгебраизация и дискретизация системы ОДУ по переменной t осуществляются методами численного интегрирования. Для нелинейных ОДУ (6) это преобразование приводит к системе нелинейных АУ, для линейных ОДУ (7) -- к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Нелинейные АУ решаются итерационными методами. Стрелка 8 соответствует решению методом Ньютона, основанному на линеаризации уравнений, стрелка 9--методами Зейделя, Якоби, простой итерации и т. п. Решение системы ЛАУ сводится к последовательности элементарных операций (10) с помощью методов Гаусса или LU-разложения.

Рис. 1- Преобразования непрерывных математических моделей

Непрерывные ММ и используемые для их анализа методы вычислительной математики получили широкое распространение в САПР различных отраслей промышленности.

Создание методики автоматического формирования математических моделей систем позволило автоматизировать процедуры анализа и верификации широкого класса технических объектов. Инвариантный характер этой методики обусловил разработку на ее основе методов и алгоритмов, реализованных во многих ПМК проектирования электронных, механических, гидравлических, теплоэнергетических устройств и систем. Известны такие методы формирования ММ как узловой метод, контурный метод, метод переменных состояния.

Дискретные математические модели

Дискретной математической моделью называется модель, в которой выполнена дискретизация тех или иных переменных. Рассмотрим ММ, в которых дискретными являются зависимые переменные, характеризующие состояние моделируемого объекта.

Проектирование систем на функционально-логическом и системном уровнях основано на применении дискретных ММ. При моделировании в подсистемах функционально-логического проектирования принимаются те же допущения, что и при моделировании аналоговых систем на верхних уровнях. Кроме того, моделируемый объект представляется совокупностью взаимосвязанных логических элементов, состояния которых характеризуются переменными, принимающими значения в конечном множестве. В простейшем случае это множество {0, 1}. Непрерывное время t заменяется дискретной последовательностью моментов времени tк, при этом длительность такта. Следовательно, математической моделью объекта является конечный автомат (КА). Функционирование КА описывается системой логических уравнений КА

На системном уровне проектирования систем преимущественно распространены модели систем массового обслуживания (СМО). Для таких моделей характерно то, что в них отображаются объекты двух типов--заявки на обслуживание и обслуживающие аппараты (ОА). При проектировании ВС заявками являются решаемые задачи, а обслуживающими аппаратами--оборудование ВС. Заявка может находиться в состоянии «обслуживание» или «ожидание», а обслуживающий аппарат--в состоянии «свободен» или «занят». Состояние СМО характеризуется состояниями ее ОА и заявок. Смена состояний называется событием. Модели СМО используются для исследования процессов, происходящих в этой системе при подаче на входы потоков заявок. Эти процессы представляются последовательностями событий. По результатам исследования определяются наиболее важные выходные параметры системы: производительность, пропускная способность, вероятность и среднее время решения задач, коэффициенты загрузки оборудования.

Появление параллельных и конвейерных систем, необходимость моделировать процессы функционирования не только аппаратных, но и программных средств привело к появлению класса дискретных ММ, называемых сетями Петри. Сети Петри можно использовать для моделирования на функционально-логическом и системном уровнях проектирования широкого круга систем и сетей.

Сети Петри и СМО широко используются для описания функционирования производственных участков, линий и цехов, ориентированных на многономенклатурное производство изделий. Сети Петри -- эффективный инструмент разработки самих САПР. Эти сети могут служить моделями алгоритмов функционирования различных устройств дискретной автоматики.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.

контрольная работа , добавлен 09.10.2016


Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.

лабораторная работа , добавлен 21.06.2013


Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.

реферат , добавлен 15.05.2007


Вводные понятия. Классификация моделей. Классификация объектов (систем) по их способности использовать информацию. Этапы создания модели. Понятие о жизненном цикле систем. Модели прогнозирования.

реферат , добавлен 13.12.2003


Динамическая модель как теоретическая конструкция, описывающая изменение состояний объекта. Характеристика основных подходов к построению: оптимизационный, описательный. Рассмотрение способов построения математических моделей дискретных объектов.

контрольная работа , добавлен 31.01.2013


Структурное преобразование схемы объекта и получение в дифференциальной форме по каналам внешних воздействий. Формы представления вход-выходных математических моделей динамических, звеньев и систем, методов их построения, преобразования и использования.

курсовая работа , добавлен 09.11.2013


Определение понятия модели, необходимость их применения в науке и повседневной жизни. Характеристика методов материального и идеального моделирования. Классификация математических моделей (детерминированные, стохастические), этапы процесса их построения.

реферат , добавлен 20.08.2015


Моделирование как метод научного познания, его сущность и содержание, особенности использования при исследовании и проектировании сложных систем, классификация и типы моделей. Математические схемы моделирования систем. Основные соотношения моделей.

курсовая работа , добавлен 15.10.2013


Признаки некоторых четырехугольников. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии. Особенности динамической среды "Живая геометрия", особенности построения в ней моделей параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата.

курсовая работа , добавлен 28.05.2013


Примеры основных математических моделей, описывающих технические системы. Математическая модель гидроприводов главной лебедки и механизма подъема-опускания самоходного крана. Описание динамики гидропривода механизма поворота стрелы автобетононасоса.

Дискретные и непрерывные модели.

Структурные и функциональные модели.

В случае если в моделях первого вида отражается структура (устройство) изучаемой системы, представляющая собой набор взаимосвязанных элементов системы, то в функциональных моделях внимание уделяется не описанию структуры системы, а количественному описанию того, как данная система реагирует на внешние воздействия. В этом случае полученную модель называют "черным ящиком". Структурные модели, как правило, строятся для хорошо структуризованных систем. Функциональные модели строятся, в основном, для хорошо структуризованных процессов. Возможно, так же сочетание этих двух видов моделœей, в результате чего может получиться гибридная модель, позволяющая описывать слабо структуризованные системы и процессы. Примером таких моделœей являются системно-динамические модели, предназначенные для описания эколого-экономических процессов. Структурные модели используются, к примеру, в теории фирмы при изучении монополии или потребительского выбора. Примером применения функциональных моделœей может служить теория производственных функций.

Такое делœение моделœей исходит из делœения всœех величин на дискретные, принимающих значения в конечном числе точек выбранного интервала и непрерывные, принимающие значения на всœем интервале. Конечно, возможен и промежуточный случай. Как правило, большинство математических моделœей допускают как дискретную, так и непрерывную интерпретацию. В случае если в дискретном случае описание моделœей ведется на языке сумм и конечных разностей, то в непрерывных моделях - на языке интегралов и бесконечно-малых приращений. В качестве примера дискретных экономико-математических моделœей можно привести широко распространенные модели, связанные с целочисленным программированием, математической теорией игр, сетевым планированием. К числу непрерывных моделœей относятся различные модели математической экономики, в том числе рыночного равновесия, многие оптимизационные модели.

Линœейные и нелинœейные модели. Такое делœение моделœей исходит от характера взаимосвязей между элементами системы. В случае если в линœейных моделях предполагается линœейная зависимость между переменными, описывающими модель, то в нелинœейных моделях присутствуют связи между элементами, задаваемые нелинœейными функциями. Примером использования линœейных и нелинœейных моделœей в экономике является решение задач линœейного и соответственно нелинœейного программирования. В случае если линœейными моделями, как правило, описываются простые системы, то нелинœейными моделями, к числу которых относится большинство системно-динамических моделœей, описываются сложные системы. Возможно, также выделœение смешанных моделœей, примером которых бывают слабо нелинœейные модели.

Дискретной называется система, которая может переходить из одного состояния в другое только в определенные моменты времени. Дискретные системы распространены очень широко. Например, цифровой компьютер является дискретной системой. Если модель непрерывной системы является дифференциальное уравнение, то моделью дискретной системы является разностное уравнение. Дискретные системы можно представить также в пространстве состояний или с помощью передаточной функции. Предположим, что мы используем компьютер для управления неким объектом (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Цифровая система управления

Поскольку компьютер является цифровым устройством, работающим в реальном времени, он может принимать информацию в дискретные моменты времени. Пусть эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину. Этот интервал времени называется шагом дискретизации.

Тогда сигнал, поступающий в компьютер, можно представить в виде числовой последовательности, которую мы обозначим как. Очень часто параметр опускают, и тогда обозначение превращается в.

Выходной сигнал также является числовой последовательностью. Компьютер обладает памятью, поэтому мы можем запоминать входные и выходные сигналы в прошедшие моменты времени. Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами и -го порядка выглядит следующим образом

Порядок уравнения определяет «глубину памяти» системы.

В рассматриваемом нами случае разностное уравнение (5.1) описывает динамику регулятора, в качестве которого используется цифровой компьютер. Однако оно может служить и моделью объекта, если тот является линейной дискретной системой.

Решить разностное уравнение означает найти последовательность. Такую последовательность называют решетчатой функцией. Существует три основных метода решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Первый (классический) метод состоит в нахождении общего и частного решений подобно тому, как это делается при классическом решении линейных дифференциальных уравнений. Этот метод мы рассматривать не будем. Второй метод является рекуррентным; он используется при решении разностных уравнений с помощью цифрового компьютера. Мы рассмотрим его на примере.

Пример 5.1. Получим решение следующего разностного уравнения

Причем, . Решения для можно получить, положив сначала в разностном уравнении, затем, затем и т.д. В результате получим

Используя этот метод, можно определить для любых значений. При больших значениях подобная процедура очень трудоемка, поэтому лучше выполнить ее на компьютере. Последний пример для решается с помощью следующей программы «MATLAB»:

mkminus1=0; ekminus1=0; ek=1;

mk=ek-ekminus1-mkminus1;

В этой программе ekminus1 соответствует значению, ek - значению, mkminus1 - значению, а mk - значению.

В качестве второго примера применения рекуррентного метода решения разностных уравнений рассмотрим численное интегрирование дифференциального уравнения по методу Эйлера. Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

Для малого значения производную можно представить как

Тогда дифференциальное уравнение приближенно примет вид:

Переходя к дискретному времени, получим разностное уравнение

Таким образом, интегрирование дифференциального уравнения методом Эйлера сводится к получению разностного уравнения. Вообще любой метод численного интегрирования может быть сведен к разностному уравнению и запрограммирован для решения на цифровом компьютере.

Третий метод решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами основан на использовании -преобразования, которое эквивалентно преобразованию Лапласа для непрерывных систем. Рассмотрим следующее разностное уравнение -го порядка, считая входную последовательность известной

Преобразование данного уравнения выглядит следующим образом:

где - параметр -преобразования, - параметр преобразования Лапласа,

Шаг дискретизации,

Изображение входного сигнала,

Изображение выходного сигнала.

Преобразование основано на теореме операционного исчисления о запаздывании. Если, то.

Уравнение (5.3) можно переписать следующим образом

Поскольку известно, то можно найти, применив обратное -преобразование к выражению (5.4).

Пример 5.2. Рассмотрим разностное уравнение из предыдущего примера

Найдем -преобразование этого уравнения

Отсюда следует

Изображение входного сигнала можно представить в виде

Решетчатая функция равна коэффициентам полученного ряда

В программе имитационного моделирования «Simulink», которая является частью языка технического программирования «MATLAB», модель дискретной системы задается в виде рациональной передаточной функции

где - коэффициенты (вещественные или комплексные).

Конечное множество чисел: () называется полюсами, а множество () - нулями системы (5.4). Полюса (и нули) могут быть действительными, либо комплексными. В последнем случае они образуют пару комплексно-сопряженных чисел. Если система устойчивая, то модули всех ее полюсов меньше единицы. В противном случае - система неустойчивая.

Пример 5.3. Дискретная система первого порядка (инерционное звено) имеет передаточную функцию

где и - коэффициенты (- полюс системы).

Пример 5.4. Дискретная система второго порядка имеет передаточную функцию

где и - полюса системы, .

Пример 5.5. Построим в «MATLAB» модель дискретной системы второго порядка, показанной на рис. 5.2. На рис. 5.3 приведена реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 5.2. Устойчивая дискретная система второго порядка

Рис. 5.3. Реакция устойчивой дискретной системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

Пример 5.6. Построим в «MATLAB» модель дискретной системы второго порядка, показанной на рис. 5.4. На рис. 5.5 приведена реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 5.4. Неустойчивая дискретная система второго порядка

Рис. 5.5. Реакция неустойчивой дискретной системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

Дискретная система, также как и непрерывная, может быть представлена в пространстве состояний:

Уравнение состояния;

Уравнение наблюдения, где

· - входной сигнал;

· - выходной сигнал;

· - вектор состояний;

· A, B, C, D - параметрические матрицы.

Пример 5.7. Система первого порядка может быть описана такими параметрами:

Пример 5.8. Система второго порядка может иметь следующие матрицы.

Отображения в пространстве.

Трехмерное вращение.

Сдвиг.

Основы преобразований.

Трехмерное изменение масштаба.

Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

Матрица имеет вид:

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.

Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:

И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.

Для отображения yz:

Для отображения xz:

Тв.модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.