Линейные стационарные системы с сосредоточенными параметрами. Условия неискажённой передачи сигнала
В предыдущем мы рассмотрели вопросы, связанные с кодированием и передачей информации по каналу связи в идеальном случае, когда процесс передачи информации осуществляется без ошибок. В действительности этот процесс неизбежно сопровождается ошибками (искажениями). Канал передачи, в котором возможны искажения, называется каналом с помехами (или шумами). В частном случае ошибки возникают в процессе самого кодирования, и тогда кодирующее устройство может рассматриваться как канал с помехами.
Совершенно очевидно, что наличие помех приводит к потере информации. Чтобы в условиях наличия помех получить на приемнике требуемый объем информации, необходимо принимать специальные меры. Одной из таких мер является введение так называемой «избыточности» в передаваемые сообщения; при этом источник информации выдает заведомо больше символов, чем это было бы нужно при отсутствии помех. Одна из форм введения избыточности - простое повторение сообщения. Таким приемом пользуются, например, при плохой слышимости по телефону, повторяя каждое сообщение дважды. Другой общеизвестный способ повышения надежности передачи состоит в передаче слова «по буквам» - когда вместо каждой буквы передается хорошо знакомое слово (имя), начинающееся с этой буквы.
Заметим, что все живые языки естественно обладают некоторой избыточностью. Эта избыточность часто помогает восстановить правильный текст «по смыслу» сообщения. Вот почему встречающиеся вообще нередко искажения отдельных букв телеграмм довольно редко приводят к действительной потере информации: обычно удается исправить искаженное слово, пользуясь одними только свойствами языка. Этого не было бы при отсутствии избыточности. Мерой избыточности языка служит величина
где - средняя фактическая энтропия, приходящаяся на один передаваемый символ (букву), рассчитанная для достаточно длинных отрывков текста, с учетом зависимости между символами, - число применяемых символов (букв), - максимально возможная в данных условиях энтропия на один передаваемый символ, которая была бы, если бы все символы были равновероятны и независимы.
Расчеты, проведенные на материале наиболее распространенных европейских языков, показывают, что их избыточность достигает 50% и более (т. е., грубо говоря, 50% передаваемых символов являются лишними и могли бы не передаваться, если бы не опасность искажений).
Однако для безошибочной передачи сведений естественная избыточность языка может оказаться как чрезмерной, так и недостаточной: все зависит от того, как велика опасность искажений («уровень помех») в канале связи.
С помощью методов теории информации можно для каждого уровня помех найти нужную степень избыточности источника информации. Те же методы помогают разрабатывать специальные помехоустойчивые коды (в частности, так называемые «самокорректирующиеся» коды). Для решения этих задач нужно уметь учитывать потерю информации в канале, связанную с наличием помех.
Рассмотрим сложную систему, состоящую из источника информации , канала связи и приемника (рис. 18.9.1).
Источник информации представляет собой физическую систему , которая имеет возможных состояний
с вероятностями
Будем рассматривать эти состояния как элементарные символы, которые может передавать источник через канал к приемнику . Количество информации на один символ, которое дает источник, будет равно энтропии на один символ:
.
Если бы передача сообщений не сопровождалась ошибками, то количество информации, содержащееся в системе относительно , было бы равно самой энтропии системы . При наличии ошибок оно будет меньше:
Естественно рассматривать условную энтропию как потерю информации на один элементарный символ, связанную с наличием помех.
Умея определять потерю информации в канале, приходящуюся на один элементарный символ, переданный источником информации, можно определить пропускную способность канала с помехами, т. е. максимальное количество информации, которое способен передать канал в единицу времени.
Предположим, что канал может передавать в единицу времени элементарных символов. В отсутствие помех пропускная способность канала была бы равна
так как максимальное количество информации, которое может содержать один символ, равно , а максимальное количество информации, которое могут содержать символов, равно , и оно достигается, когда символы появляются независимо друг от друга.
Теперь рассмотрим канал с помехами. Его пропускная способность определится как
, (18.9.3)
где - максимальная информация на один символ, которую может передать канал при наличии помех.
Определение этой максимальной информации в общем случае - дело довольно сложное, так как она зависит от того, как и с какими вероятностями искажаются символы; происходит ли их перепутывание, или же простое выпадение некоторых символов; происходят ли искажения символов независимо друг от друга и т. д.
Однако для простейших случаев пропускную способность канала удается сравнительно легко рассчитать.
Рассмотрим, например, такую задачу. Канал связи передает от источника информации к приемнику элементарные символы 0 и 1 в количестве символов в единицу времени. В процессе передачи каждый символ, независимо от других, с вероятностью может быть искажен (т. е. заменен противоположным). Требуется найти пропускную способность канала.
Определим сначала максимальную информацию на один символ, которую может передавать канал. Пусть источник производит символы 0 и 1 с вероятностями и .
Тогда энтропия источника будет
Определим информацию на один элементарный символ:
.
Чтобы найти полную условную энтропию , найдем сначала частные условные энтропии: (энтропию системы при условии, что система приняла состояние ) и (энтропию системы при условии, что система приняла состояние ). Вычислим , для этого предположим, что передан элементарный символ 0. Найдем условные вероятности того, что при этом система находится в состоянии и в состоянии . Первая из них равна вероятности того, что сигнал не перепутан:
;
вторая - вероятности того, что сигнал перепутан:
Условная энтропия будет:
Найдем теперь условную энтропию системы при условии, что (передан сигнал единица):
;
,
Таким образом,
Полная условная энтропия получится, если осреднить условные энтропии и с учетом вероятностей и значений . Так как частные условные энтропии равны, то
Мы получили следующий вывод: условная энтропия совсем не зависит от того, с какими вероятностями встречаются символы 0; 1 в передаваемом сообщении, а зависит только от вероятности ошибки .
Вычислим полную информацию, передаваемую одним символом:
где - вероятность того, что на выходе появится символ 0. Очевидно, при заданных свойствах канала информация на один символ достигает максимума, когда максимально. Мы знаем, что такая функция достигает максимума при , т. е. когда на приемнике оба сигнала равновероятны. Легко убедиться, что это достигается, когда источник передает оба символа с одинаковой вероятностью . При том же значении достигает максимума и информация на один символ. Максимальное значение равно
На один символ теряется информация 0,0808 (дв. ед). Пропускная способность канала равна
двоичные единицы в единицу времени.
С помощью аналогичных расчетов может быть определена пропускная способность канала и в более сложных случаях: когда число элементарных символов более двух и когда искажения отдельных символов зависимы. Зная пропускную способность канала, можно определить верхний предел скорости передачи информации по каналу с помехами. Сформулируем (без доказательства) относящуюся к этому случаю вторую теорему Шеннона.
2-я теорема Шеннона
Пусть имеется источник информации , энтропия которого в единицу времени равна , и канал с пропускной способностью . Тогда если
то при любом кодировании передача сообщений без задержек и искажений невозможна. Если же
то всегда можно достаточно длинное сообщение закодировать так, чтобы оно было передано без задержек и искажений с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.
Пример 2. Имеются источник информации с энтропией в единицу времени (дв. ед.) и два канала связи; каждый из них может передавать в единицу времени 70 двоичных знаков (0 или 1); каждый двоичный знак заменяется противоположным с вероятностью . Требуется выяснить: достаточна ли пропускная способность этих каналов для передачи информации, поставляемой источником?
Решение. Определяем потерю информации на один символ:
Максимальное количество информации, передаваемое по одному каналу в единицу времени:
Максимальное количество информации, которое может быть передано по двум каналам в единицу времени:
чего недостаточно для обеспечения передачи информации от источника.
Также как и в случае цепи с помощью цепи можно осуществлять преобразования сигнала, соответствующие приближенному дифференцированию и интегрированию. На рис.3.6а,б приведены две схемы цепи. В первой выходное напряжение снимается с индуктивности, а во второй - с активного сопротивления.
Коэффициент передачи первой цепи (рис.3.6а) имеет выражение
,
где - постоянная времени цепи. Выражение для коэффициента передачи этой цепи приведено к виду выражения (3.10).Таким образом, коэффициент передачи такой цепи одинаков по своим свойствам с коэффициентом передачи цепи, если в последней выходное напряжение снимается с активного сопротивления. Следовательно, преобразования импульса в рассматриваемой цепибудут такими же, как в упомянутой цепии в частности, будет осуществляться приближенное дифференцирование, если выполняется условие.
Для второй цепи (рис.З.6б) коэффициент передачи имеет выражение
,
которое приведено к виду, соответствующему выражению (3.15). Следовательно, в такой цепи можно осуществлять преобразование сигнала, подобное рассмотренному для цепи, если в последней выходное напряжение снимается с емкости. В частности рассматриваемую цепь можно приближенно назвать интегрирующей, если между постоянной времени цепии длительностью входного импульсасуществует неравенство.
Длительность фронта определяется так же, как и в главе 1 определялось время установления переходного процесса в цепях. Длительность фронта, где , гдеи- моменты времени, в которые выходной импульс достигает соответственно 10% и 90% амплитудного значения. Так как нарастание фронта импульса происходит на выходе интегрирующей цепи по экспоненциальному закону (первый член выражения 3.18),то можно записать равенства
откуда определяется длительность фронта .
Условия неискаженной передачи сигнала
В различных радиотехнических устройствах возникает необходимость обеспечить передачу через некоторую линейную цепь импульса или другого сложного сигнала без искажения его формы. То есть, если на входе цепи действует импульс , то на выходе желательно получить импульс напряжения, имеющий ту же форму, но, может быть, другую амплитуду.
Исходя из спектрального состава негармонического напряжения, можно установить условия неискаженной передачи его линейной целью. Для этого необходимо, чтобы соотношения амплитуд и фаз гармонических составляющих выходного напряжения была соответственно такими же, как и у входного напряжения. Это означает, что как изменения амплитуд, так и запаздывание во времени всех гармонических составляющих не должны завистеть от частоты.
Отсюда следует, что коэффициент передачи такой цепи должен удовлетворять условиям
Здесь - время фазового запаздывания (фазовой задержки). При выполнении условий (3.20) можно записать:
На
рис.3.7 изображены частотная и фазовая
характеристики цепи, удовлетворяющей
условию (3.20). Такая цепь должна иметь
бесконечно широкую полосу пропускания
и линейно изменяющуюся фазовую
характеристику, тангенс угла наклона
которой равен времени задержки
.
Поясним сказанное с помощью рис.3.8, на
котором показаны графики входного
напряженияи выходного напряжения.
Здесь
начальные фазы обеих гармонических
составляющих входного сигнала равны
нулю, а
.
Если модуль коэффициента передачи,
то амплитуды гармонических составляющих
на входе и выходе цепи соответственно
равны,.
Далее, если фазовая характеристика
линейна, то, полагая фазовый сдвиг
гармонической составляющей частотына выходе цепи равным,
находим фазовый сдвиг для гармонической
составляющей частотына выходе цепи:
Таким образом, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и напряжение на входе цепи, но “запаздывает” по времени на величину . Легко понять, что любой реальный сигнал будет передан такой цепью без искажения его формы.
Справедливость условия (3.20) можно показать и аналитически с помощью преобразования Фурье. Пусть на вход цепи подано напряжение , имеющее спектральную функцию. Выразим это напряжение с помощью интеграла Фурье:
,
или, пользуясь записью интеграла Фурье в тригонометрической форме, получим:
.
На выходе цепи, имеющей коэффициент передачи
получим напряжение, определяемое выражением
Пользуясь тригонометрической формой записи, получаем:
Действительно, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и на входе, но изменено по величине в раз и запаздывает по отношению к входному напряжению на время.
Любая реальная цепь не удовлетворяет условиям (3.20),полоса ее пропускания обычно ограничена некоторой частотой , где модуль коэффициента передачи начинает убывать с ростом частоты.
Для выяснения некоторых свойств цепи с ограниченной полосой пропускания рассмотрим так называемый идеальный фильтр нижних частот. Частотная и фазовая характеристики такого фильтра изображены на рис.3.9а,б. В отличие от идеального, у реального фильтра нижних частот частотная характеристика на граничной частоте не имеет резкого спада, а фазовая характеристика отличается от линейной.
Для идеального фильтра в полосе его пропускания полагаем ,, гдеи здесь выбрано произвольно. Пусть в моментна фильтр подан перепад напряжения величины, для которого coгласно (2.14) можно записать выражение
.
Тогда напряжение на выходе фильтра определяется выражением
где - интегральный синус, значения которого для различных значений аргумента находятся по таблицам.
На
рис.3.10 изображен график функции
.
Наблюдающаяся здесь осцилляция, которая
простирается до,
является следствием идеализации
частотной характеристики фильтра.
Частота осцилляции совпадает с граничной
частотой фильтра.
В реальной цепи на ее выходе сигнал не
может предшествовать моменту подачи
сигнала на ее вход. Однако замена реальной
частотной характеристики фильтра
идеальной позволяет установить простую
связь между полосой пропускания фильтраи крутизной фронта выходного напряжения.
При анализе прохождения сигналов через линейные цепи можно пользоваться методами, известными из курса «Основы теории цепей».
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от структуры цепи, вида воздействующего на нее сигнала, а также от того, в какой форме (частотной или временной) должен быть представлен выходной сигнал.
Например, анализ прохождения относительно простых сигналов (импульсов включения, гармонических колебаний и т. п.) через цепи, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, достаточно просто выполняется классическим методом дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений затрудняется (воздействие сложных сигналов на цепи со сложной структурой), целесообразно использовать такие методы, как спектральный (операторный ) илиметод интеграла наложения , основанные на принципе суперпозиции.
При анализе прохождения сигналов через узкополосные системы, помимо перечисленных методов анализа, дающих точное решение, применяются приближенные методы, позволяющие для ряда задач получить решения, достаточно близкие к точным. Ниже на рисунке схематически представлена классификация методов анализа, которые рассматриваются в этой главе. Будут рассмотрены приближенные методы анализа (методы огибающей, «мгновенной» частоты, приближенный спектральный метод) и примеры их использования.
Методы решения задач в линейных стационарных системах с сосредоточенными параметрами
Точные методы решения задач в линейных стационарных системах с сосредоточенными параметрами
Спектральный метод
Пусть на входе линейного четырехполюсника с заданной передаточной функцией действует произвольный сигнал x(t), обладающий спектральной плотностью:
Согласно спектральному методу анализа спектральная плотность сигнала y (t ) на выходе четырехполюсника равна произведению спектральной плотности входного сигнала на передаточную функцию цепи, т. е.
Применяя обратное преобразование Фурье, определяем выходной сигнал как функцию времени
Спектральный метод
Из сравнения (5.16) с (5.14) следует, что сигнал на выходе линейного четырехполюсника можно получить суммированием элементарных спектральных составляющих входного сигнала
с комплексными амплитудами, умноженными на функцию .
Передаточная функция цепи , определяющая относительный вклад
составляющих спектра входного сигнала в сигнал y (t ), имеет смысл
весовой функции.
Сигнал проходит через линейную цепь без искажений, если его форма не изменяется, а происходит только изменение масштаба и сдвиг во времени.
При прохождении через линейный четырехполюсник сигнала x (t ) спектральная плотность выходного сигналаy (t ), равная
Искажения, вызванные частотной зависимостью передаточной функции линейного четырехполюсника называют линейными (иличастотными)
искажениями. О характере и величине этих искажений можно судить по амплитудно- и фазочастотным характеристикам цепи, т. е. по модулю и аргументу функции .
При прохождении сигнала x (t ) через неискажающий четырехполюсник реакциюу(t) можно записать в виде
где = const - коэффициент пропорциональности,t 3 - время задержки.
Условия неискаженной передачи сигнала линейным четырехполюсником
Учитывая свойство линейности и временного сдвига, спектральную плотность реакции цепи можно записать как
Следовательно, неискажающий четырехполюсник должен иметь передаточную функцию вида
создаваемая такой цепью, определяется наклоном её фазовой характеристики
Частотные характеристики реальных четырехполюсников могут приближаться к характеристикам неискажающего четырехполюсника только в ограниченном диапазоне частот.
Передача информации происходит от источника к получателю (приемнику) информации. Источником информации может быть все, что угодно: любой объект или явление живой или неживой природы. Процесс передачи информации протекает в некоторой материальной среде, разделяющей источника и получателя информации, которая называется каналом передачи информации. Информация передается через канал в форме некоторой последовательности сигналов, символов, знаков, которые называются сообщением . Получатель информации - это объект, принимающий сообщение, в результате чего происходят определенные изменения его состояния. Все сказанное выше схематически изображено на рисунке.
Передача информации
Человек получает информацию от всего, что его окружает, посредством органов чувств: слуха, зрения, обоняния, осязания, вкуса. Наибольший объем информации человек получает через слух и зрение. На слух воспринимаются звуковые сообщения - акустические сигналы в сплошной среде (чаще всего - в воздухе). Зрение воспринимает световые сигналы, переносящие изображение объектов.
Не всякое сообщение информативно для человека. Например, сообщение на непонятном языке хотя и передается человеку, но не содержит для него информации и не может вызвать адекватных изменений его состояния.
Информационный канал может иметь либо естественную природу (атмосферный воздух, через который переносятся звуковые волны, солнечный свет, отраженный от наблюдаемых объектов), либо быть искусственно созданным. В последнем случае речь идет о технических средствах связи.
Технические системы передачи информации
Первым техническим средством передачи информации на расстояние стал телеграф, изобретенный в 1837 году американцем Сэмюэлем Морзе. В 1876 году американец А.Белл изобретает телефон. На основании открытия немецким физиком Генрихом Герцем электромагнитных волн (1886 г.), А.С. Поповым в России в 1895 году и почти одновременно с ним в 1896 году Г.Маркони в Италии, было изобретено радио. Телевидение и Интернет появились в ХХ веке.
Все перечисленные технические способы информационной связи основаны на передаче на расстояние физического (электрического или электромагнитного) сигнала и подчиняются некоторым общим законам. Исследованием этих законов занимается теория связи , возникшая в 1920-х годах. Математический аппарат теории связи - математическую теорию связи , разработал американский ученый Клод Шеннон.
Клод Элвуд Шеннон (1916–2001), США
Клодом Шенноном была предложена модель процесса передачи информации по техническим каналам связи, представленная схемой.
Техническая система передачи информации
Под кодированием здесь понимается любое преобразование информации, идущей от источника, в форму, пригодную для ее передачи по каналу связи. Декодирование - обратное преобразование сигнальной последовательности .
Работу такой схемы можно пояснить на знакомом всем процессе разговора по телефону. Источником информации является говорящий человек. Кодирующим устройством - микрофон телефонной трубки, с помощью которого звуковые волны (речь) преобразуются в электрические сигналы. Каналом связи является телефонная сеть (провода, коммутаторы телефонных узлов, через которые проходит сигнал). Декодирующим устройством является телефонная трубка (наушник) слушающего человека - приемника информации. Здесь пришедший электрический сигнал превращается в звук.
Современные компьютерные системы передачи информации - компьютерные сети, работают по тому же принципу. Есть процесс кодирования, преобразующий двоичный компьютерный код в физический сигнал того типа, который передается по каналу связи. Декодирование заключается в обратном преобразовании передаваемого сигнала в компьютерный код. Например, при использовании телефонных линий в компьютерных сетях функции кодирования-декодирования выполняет прибор, который называется модемом.
Пропускная способность канала и скорость передачи информации
Разработчикам технических систем передачи информации приходится решать две взаимосвязанные задачи: как обеспечить наибольшую скорость передачи информации и как уменьшить потери информации при передаче. Клод Шеннон был первым ученым, взявшимся за решение этих задач и создавшим новую для того времени науку - теорию информации .
К.Шеннон определил способ измерения количества информации, передаваемой по каналам связи. Им было введено понятие пропускной способности канала , как максимально возможной скорости передачи информации. Эта скорость измеряется в битах в секунду (а также килобитах в секунду, мегабитах в секунду).
Пропускная способность канала связи зависит от его технической реализации. Например, в компьютерных сетях используются следующие средства связи:
Телефонные линии,
Электрическая кабельная связь,
Оптоволоконная кабельная связь,
Радиосвязь.
Пропускная способность телефонных линий - десятки, сотни Кбит/с; пропускная способность оптоволоконных линий и линий радиосвязи измеряется десятками и сотнями Мбит/с.
Шум, защита от шума
Термином “шум” называют разного рода помехи, искажающие передаваемый сигнал и приводящие к потере информации. Такие помехи прежде всего возникают по техническим причинам: плохое качество линий связи, незащищенность друг от друга различных потоков информации, передаваемых по одним и тем же каналам. Иногда, беседуя по телефону, мы слышим шум, треск, мешающие понять собеседника, или на наш разговор накладывается разговор совсем других людей.
Наличие шума приводит к потере передаваемой информации. В таких случаях необходима защита от шума.
В первую очередь применяются технические способы защиты каналов связи от воздействия шумов. Например, использование экранированного кабеля вместо “голого” провода; применение разного рода фильтров, отделяющих полезный сигнал от шума, и пр.
Клодом Шенноном была разработана теория кодирования , дающая методы борьбы с шумом. Одна из важных идей этой теории состоит в том, что передаваемый по линии связи код должен быть избыточным . За счет этого потеря какой-то части информации при передаче может быть компенсирована. Например, если при разговоре по телефону вас плохо слышно, то, повторяя каждое слово дважды, вы имеете больше шансов на то, что собеседник поймет вас правильно.
Однако нельзя делать избыточность слишком большой. Это приведет к задержкам и удорожанию связи. Теория кодирования позволяет получить такой код, который будет оптимальным. При этом избыточность передаваемой информации будет минимально возможной, а достоверность принятой информации - максимальной.
В современных системах цифровой связи для борьбы с потерей информации при передаче часто применяется следующий прием. Все сообщение разбивается на порции - пакеты . Для каждого пакета вычисляется контрольная сумма (сумма двоичных цифр), которая передается вместе с данным пакетом. В месте приема заново вычисляется контрольная сумма принятого пакета и, если она не совпадает с первоначальной суммой, передача данного пакета повторяется. Так будет происходить до тех пор, пока исходная и конечная контрольные суммы не совпадут.
Рассматривая передачу информации в пропедевтическом и базовом курсах информатики, прежде всего следует обсудить эту тему с позиции человека как получателя информации. Способность к получению информации из окружающего мира - важнейшее условие существования человека. Органы чувств человека - это информационные каналы человеческого организма, осуществляющее связь человека с внешней средой. По этому признаку информацию делят на зрительную, звуковую, обонятельную, тактильную, вкусовую. Обоснование того факта, что вкус, обоняние и осязание несут человеку информацию, заключается в следующем: мы помним запахи знакомых объектов, вкус знакомой пищи, на ощупь узнаем знакомые предметы. А содержимое нашей памяти - это сохраненная информация.
Следует рассказать ученикам, что в мире животных информационная роль органов чувств отличается от человеческой. Важную информационную функцию для животных выполняет обоняние. Обостренное обоняние служебных собак используется правоохранительными органами для поиска преступников, обнаружения наркотиков и пр. Зрительное и звуковое восприятие животных отличается от человеческого. Например, известно, что летучие мыши слышат ультразвук, а кошки видят в темноте (с точки зрения человека).
В рамках данной темы ученики должны уметь приводить конкретные примеры процесса передачи информации, определять для этих примеров источник, приемник информации, используемые каналы передачи информации.
При изучении информатики в старших классах следует познакомить учеников с основными положениями технической теории связи: понятия кодирование, декодирование, скорость передачи информации, пропускная способность канала, шум, защита от шума. Эти вопросы могут быть рассмотрены в рамках темы “Технические средства компьютерных сетей”.
