Функция одной переменной примеры. Учебное пособие по Математическим методам в географии

функция - это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

график функции - это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией:

точка располагается (или находится) на графике функции тогда и только тогда, когда .

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа - основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) - целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и qпринадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.

Пример 2: функция y = {x} - дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] - целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x - произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r - целое число и q лежит в интервале .
Мы видим,что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции.
Наименьшее отличное от нуля число из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем ) функции.

Функция может иметь несколько нулей.

Например, функция y = x (x + 1)(x-3) имеет три нуля: x = 0, x = - 1, x =3 .

Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Обратная функция

Пусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102).

Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х=j(y)=f -1 (y).Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х (если это возможно).

1. Для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2;

2.Для функции у=х2 хє обратной функцией является х=√у; заметим, что для функции у=х 2 , заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция ƒ(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция у=ƒ(х) и обратная ей х=φ(у) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у=ƒ(х) запишется в виде у=φ(х).

Это означает, что точка M 1 (x o ;y o) кривой у=ƒ(х) становится точкой М 2 (у о;х о) кривой у=φ(х). Но точки M 1 и М 2 симметричны относительно прямой у=х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функции у=ƒ(х) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D 1 , причем для  x D 1 соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D 1 определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Основные элементарный функции и их графики.

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Показательная функция у=a х,a>0, а ≠ 1. На рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

2) Степенная функция у=х α , αєR. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рисунках

3)Логарифмическая функция y=log a x, a>0,a≠1;Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgх, у=ctgx; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Примерами элементарных функций могут служить функции

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

5. Понятия предела последовательности и функции. Свойства пределов.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции ) в заданной точке,предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементовтопологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятиепредела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегральногоисчислений.

Обозначение:

(читается: предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a )

Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью : если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится ; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится . В хаусдорфовом пространстве и, в частности, метрическом пространстве , каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфово пространства не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством секвенциальной компактности (или, просто, компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке.

Определение

Пусть дано топологическое пространство и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что

где - открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

где - метрика, то называется пределом .

· Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

6. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любого положительного числа  существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < , выполняется неравенство
| f (x ) – a | <  .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любой последовательности {x n }, сходящейся к а (стремящейся к а , имеющей пределом число а ), причем ни при каком значении n х n ≠ а , последовательность {y n = f (x n)} сходится к b .

Данные определения предполагают, что функция у = f (x ) определена в некоторой окрестноститочки а , кроме, быть может, самой точки а .

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2 > 0, высотой 2 и центром в точке (а; b ), что все точки графика данной функции на интервале (а – ; а + ), за исключением, быть может, точки М (а ; f (а )), лежат в этом прямоугольнике

Односторо́нний преде́л в математическом анализе - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва ) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва ). Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число - предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

Скачать с Depositfiles

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция № 13. Тема 1 : Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s , скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t .

В этом случае изменение одной величины (t ) произвольно, а другая (s ) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y .

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент
, при этом пишут

или
.

Элемент называется аргументом функции f , а элемент значением функции. Множество X , при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции , а множество Y  областью изменения функции . Эти множества соответственно обозначаются
и
.

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела
. Здесь X и Y  множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга
. Здесь X и Y  множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X  множество студентов группы, т.е.
, а
 множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки) :

 отрезок;

 интервал;

 числовая ось (множество действительных чисел);

или     окрестность точки a .

а
х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y , то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций :

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1.
. 2.
. 3.
.

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы):  для всех, любых;  существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей ) на некотором промежутке, если
из этого промежутка выполняется неравенство
или
и пишут
или
соответственно . Возрастающие и убывающие функции называются монотонными . Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если
выполняется условие
. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной ), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида .

Функция называется периодической с периодом Т , если выполня-ется условие
.

Например, функция
является возрастающей
и убывающей
. Функция
является монотонной . Функция
ограничена для , так как
. Функции:
являются четными, а функции
 нечетными. Функция
 периодическая с периодом
.

Функция может быть задана и уравнением вида

(1)

Если существует такая функция , что
, то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно . Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию
.

Пусть
, а
, тогда функция
называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f . Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций
и
.

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у , а в качестве функции – переменную х , то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается
. Например, для функции
обратной функцией служит
или
, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ ). Например, поставим в соответствие каждому числу
число 1, а каждому
число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

d

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y . Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.

1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся: . целая часть числа, где x  наибольшее целое число, не превосходящее x , например,
.

Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.

Способы задания фун-ий.

а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)

б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).

в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).

г)логический

3 . Односторонний предел. Существование предела в точке.

Число назыв. односторонним пределом слева фун-ии f(x) в точке сгущения x 0, если для ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0

∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Число назыв. односторонним пределом справа фун-ии f(x) в точке сгущения х 0 , если если ∀ε>0 ∃δ>0, такое,что х ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х 0 (или точке х 0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство

Обозначается или

2. Предел функции и его свойства.

Предельной точной сгущения множества A называется точка x 0 , если в любой окрестности этой точки найдутся такие множества, отличные от x 0 .

Определение предела по Коши. Функция y=f(x), определенная в A, имеет предел С в точке сгущения x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0, такое, что x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, С+ε). Существование предела записывают в виде lim x → x 0 f(x)=C или |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Определение предела по Гейне. Если для различных последовательностей {x n }, стремящихся к x 0 , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

1)Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Основные определения и понятия

Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;

2) положительное направление, указываемое стрелкой;

3) масштаб для измерения длин.

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.

Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность

Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:

M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.

Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .

Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.

Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).

Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).

Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.

Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.

Функции задаются:

1) аналитически (в виде формулы), например, ;

2) графически (в виде графика);

3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.

Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:

1. Степенная функция : , где? - действительное число.

2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.

3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,

y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,

y = arccosec x .

Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, y = Рx Р = ; ; .

Пример 1 . Найти, если.

Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :

Тогда получим

Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

Решение . а) Так как, то

т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.

б) Имеем, т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

в) Здесь,т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3

Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4 . Найти область определения функции.

Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент

Повторим понятия функции и её свойства, которые нам потребуются для дальнейшего изложения материала.

Определение. Функция F (X ) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению хХ поставить в соответствие единственное значение Y = F (X )У, где х - независимая переменная (аргумент), Y - зависимая переменная (значение функции). Говорят, что функция F имеет Область определения D (F )= X и Область значений R (F ) Y .

Определение. Множество пар {(X , F (X )): XD (F )} называется Графиком функции F .

Существует три основных способа задания функции:

 при Аналитическом способе задания функции зависимость между переменными определяется формулой;

 при Табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции;

 при Графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика.

Рассмотрим некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике:

 Функция спроса - зависимость спроса D на некоторый товар от его цены P ;

 Функция предложения - зависимость предложения S некоторого товара от его цены P ;

 Функция полезности - субъективная числовая оценка данным индивидом полезности И и количества Х товара для него;

 Функция издержек - зависимость издержек I на производство Х единиц продукции;

 Налоговая ставка - зависимость налоговой ставки N в процентах от величины годового дохода Q .

Все эти функции, кроме последней, весьма трудно выразить аналитически. При необходимости их находят путем кропотливого анализа. Последняя же функция, напротив, обычно довольно хорошо известна всему обществу и законодательно утверждена.

Определение. Функция F ( X ) имеет предел B , когда х стремится к а, если значения F (X ) сколь угодно близко приближаются к числу B , когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу а.

Обозначение. .

Следует отметить, что в этом определении рассматриваются значения Х , сколь угодно близкие к числу А , но не совпадающие с А .

Определение. Если функция F (X ) определена в точке а и выполняется равенство , то F (X ) называется непрерывной функцией в точке а.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, называется Непрерывной функцией . В противном случае функцию называют Разрывной .

График непрерывной функции можно начертить без отрыва руки.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами:

 сумма или произведение непрерывных функций является непрерывной функцией;

 отношение двух непрерывных функций является функцией непрерывной во всех точках, в которых знаменатель отношения не обращается в нуль.

Замечание. Метод, эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается .

Определение. Функция F (X ) называется Возрастающей (убывающей) на множестве X , если из того, что X 1 < X 2 вытекает, что F (X 1 )< F (X 2 ) (F (X 1 )> F (X 2 )). Функция F (X ) называется Неубывающей (невозрастающей) на множестве X , если из того, что X 1  X 2 , X 1 , X 2  X вытекает, что F (X 1 ) F (X 2 ) (F (X 1 ) F (X 2 )).

Теорема. Пусть функция F (X ) дифференцируема на интервале (A , B ). Тогда:

 Если первая производная функции Всюду на этом интервале, то функция возрастает на нем;

 Если первая производная всюду на этом интервале, то функция убывает;

 Первая производная Всюду на этом интервале, то функция постоянна на этом интервале.

Определение. Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются Монотонными.

Замечание. Монотонная функция не обязательно должна быть непрерывной.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции F (X )=(1- X 2 )3 .

. Находим производную: Решим уравнение . Получим Х1=0, х2=1, х3=-1 . Функция F (X ) определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки Х1, х2, х3 являются критическими точками. Других критических точек нет, так как существует всюду.

Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой этой точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде табл. 1:

Таблица 1

В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках. В третьей строке - заключение о поведении функции на исследуемых интервалах. На интервале (-; 0) функция возрастает, на интервале (0; +) функция убывает.

Определение. Функция F (X ) является Унимодальной на отрезке [ A , B ] в том и только в том случае, если она монотонна по обе стороны от единственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки х*.

Пример 2. Приведем примеры графиков унимодальных функций:

 на рис. 6 непрерывная функция;

 на рис. 7 - разрывная функция;

 на рис. 8 - дискретная функция.

Множество функций, унимодальных на отрезке [ A ; B ] , будем обозначать

Q [ A ; B ] .

Для проверки унимодальности функции F (X ) на практике обычно используют следующие критерии:

1) если функция F (X ) дифференцируема на отрезке [ A ; B ] и производная Не убывает на этом отрезке, то F (X ) Q [ A ; B ] ;

2) если функция F (X ) дважды дифференцируема на отрезке [ A ; B ] и При Х[ A ; B ] , то F (X ) Q [ A ; B ] .Х=-0,5 . Следовательно, Если Х-0,5 и, в частности, при Х. Используя второй критерий унимодальности, получаем, что F (X ) Q .

Определение. Рассмотрим множество SR . Мы можем определить соответствие, с помощью которого каждой точке XS приписывается единственное числовой значение. Такое соответствие называется Скалярной функцией F , определенной на множестве S .

Определение. В теории оптимизации F называется Целевой функцией , а S - Допустимой областью , множеством точек, удовлетворяющих ограничениям, или областью допустимых значений х .