Переменный ток. Его характеристики

Рассмотрим подробнее кривую, изображающую зависимость мгновенного значения технического переменного тока (или напряжения) от времени (рис. 293). Прежде всего обращает на себя внимание тот факт, что этот ток (или напряжение) изменяется периодически, т. е. каждое мгновенное значение этих величин, например значение, соответствующее точке (или точке ), повторяется через один и тот же промежуток времени. Другими словами, сила тока (или напряжение) пробегает за этот промежуток времени все возможные значения, возвращаясь к исходному, т. е. совершает полное колебание. Промежуток времени, в течение которого сила тока (или напряжение) совершает полное колебание и принимает прежнее по модулю и знаку мгновенное значение, называется периодом переменного тока. Его принято обозначать буквой . Для сетей СССР и большинства других стран с, а так как изменение направления тока происходит два раза в течение каждого периода, то технический ток меняет свое направление 100 раз в секунду.

Рис. 293. Зависимость силы переменного тока от времени

Максимальное значение, которое может иметь переменный ток (или напряжение) в том или другом направлении, называется амплитудой этой величины. На рис. 293 амплитуда изображается отрезками . Амплитуду токов и напряжений обозначают или , а их мгновенные значения – и .

Число полных колебаний (циклов) синусоидального тока или напряжения за единицу времени называют частотой соответствующей величины и обозначают буквой . Очевидно,

За единицу частоты принимают частоту, равную одному колебанию в секунду. Эту единицу называют герцем (Гц) по имени немецкого физика Генриха Герца (1857-1394). Таким образом, технический переменный ток имеет частоту 50 Гц.

Вместо частоты вводят также величину , которую называют циклической или круговой частотой тока (напряжения). Она представляет собой число полных колебаний (циклов) данной величины за секунд.

Пока мы имеем дело только с одним синусоидальным переменным током или переменным напряжением, частота и амплитуда являются полными и исчерпывающими характеристиками этих величии, потому что начальный момент отсчета времени мы можем выбрать произвольно. Но когда нам приходится сопоставлять друг с другом две или несколько величин такого рода, мы должны учитывать и тот факт, что они могут достигать максимального значения не в один и тот же момент времени.

Две кривые на рис. 294,а изображают форму двух синусоидальных переменных токов с одной и той же частотой и амплитудой, но кривые эти смещены по оси абсцисс (оси времени) на отрезок, равный четверти, периода. Начальная точка отсчета времени выбрана так, что для первой кривой нулевые значения достигаются в моменты а амплитудные – в моменты . Вторая же кривая проходит через нулевые значения в моменты а через амплитудные – в моменты .

Рис. 294. Графическое изображение переменных токов одинаковой частоты и амплитуды, смещенных по фазе: а) два синусоидальных тока, смещенные по фазе на четверть периода; б) токи, изображаемые кривыми 2 и 3, смещены по фазе относительно кривой 1 на одну восьмую часть периода

В подобных случаях говорят, что эти два тока (или две другие синусоидальные величины) сдвинуты друг относительно друга по фазе, или, иначе, что между ними существует некоторый сдвиг фаз (или разность фаз), равный в данном примере четверти периода. Так как кривая 1 проходит через амплитудное значение, так же как и через любое другое соответствующее значение, раньше, чем кривая 2, то говорят, что она опережает кривую 2 по фазе или, иначе, что кривая 2 отстает по фазе от кривой 1.

153.1. На рис. 294,б кривые 2 и 3 сдвинуты относительно кривой 1 по фазе на одну восьмую периода. Определите, какая из этих кривых отстает по фазе от кривой 1 и какая опережает ее. Какова разность фаз между кривыми 2 и 3?

Во всех случаях, когда приходится сопоставлять синусоидальные величины или рассматривать их совместное действие (складывать или перемножать их), вопрос о соотношении фаз между этими величинами имеет очень важное значение. Таким образом, в общем случае, когда имеется несколько синусоидальных токов или напряжений, нужно характеризовать каждый из них тремя величинами: частотой, амплитудой и фазой или, точнее, сдвигом фаз между данным током (или напряжением) и каким-нибудь другим, относительно которого мы рассматриваем сдвиг фаз всех остальных.

Соотношения между фазами различных синусоидальных переменных токов очень удобно изучать при помощи петлевого осциллографа, имеющего в отличие от прибора, описанного в §152, не одну, а две отдельные рамки (петли), помещенные в общее магнитное поле (рис. 295). Развертка формы обоих токов, проходящих по этим петлям, по оси времени осуществляется одним и тем же вращающимся барабаном, так что точки двух получающихся на экране кривых, расположенные друг над другом, изображают мгновенные значения сравниваемых токов, соответствующие одному и тому же моменту времени.

Рис. 295. Двухпетлевой осциллограф для одновременной записи двух переменных токов, проходящих через петли 1 и 2

Точное математическое определение фазы синусоидальной переменной величины (тока или напряжения) таково. Мгновенное значение этой величины в какой-нибудь момент времени определяется значением величины , стоящей под знаком функции в формуле (151.2). Если начальный момент отсчета времени выбран уже так, чтобы мгновенное значение тока проходило через нуль в моменты то, вообще говоря, другой ток будет проходить через нуль в моменты , и закон его изменения со временем будет иметь вид

где буквой обозначено произведение . Фазой тока (или напряжения) в общем случае называют значение величины, стоящей под знаком функции в формуле (153.2), а величина определяет разность фаз сравниваемых токов (или напряжений). Если эта величина положительна, то первый ток опережает по фазе второй ток, а если она отрицательна, то первый ток отстает по фазе от второго. Фаза измеряется в радианах.

На постоянном токе поток носителей электрозарядов не меняет свое направление во времени, хотя мгновенная его величина может меняться. На переменном токе ток периодически изменяет направленность. Количественная характеристика этого изменения – это частота электрического тока.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/1-16-768x461..jpg 800w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Измерение частоты тока осциллографом

Определение частоты и периода

Колебания потока зарядов происходят циклически, по синусоидальному закону. Протяженность одного такого цикла, выраженная в секундах, – это период переменного тока (Т).

Частота тока определятся количеством колебательных циклов за 1 секунду. Другими словами, это скорость, с которой ток меняет направление. Буквенный символ, обозначающий частоту, – f.

Взаимосвязь частоты и периода, выраженная математически, определяется формулой:

Справедлива и обратная зависимость:

Data-lazy-type="image" data-src="http://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/2-17-600x445.jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/2-17.jpg 711w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Период переменного тока

При расчетах частота переменного тока измеряется в герцах (Гц). Если током совершается 1 колебательный цикл в секунду, то f = 1 Гц.

Важно! Пятьдесят колебательных циклов за 1 секунду соответствуют 50 Гц. Это промышленная частота электрического тока в России.

Иногда в расчетах применяется угловая частота:

единица измерения этого показателя – рад/с.

1 радиан = 360°/2π.

Некоторые общие частотные диапазоны:

50-60 Гц – частота тока в энергосистеме (60 Гц применяется, например, в США);
1-20 кГц (килогерц) – частотно-регулируемые приводы;
16 Гц -20 кГц – аудиочастоты (диапазон человеческого слуха);
3 кГц-3000 ГГц (гигагерц) – радиочастоты.

Взаимосвязь частоты и работы электрооборудования

Схемы и электрооборудование предназначены для работы с фиксированной или переменной частотой.

Для электротехники, нормально функционирующей при фиксированной частоте, изменение этого показателя вызовет нарушения в работе. Например, электродвигатель на 50 Гц будет работать медленнее при частотном значении ниже 50 Гц и быстрее, если частотный показатель выше 50 Гц.

Важно! Между частотой и скоростью электродвигателя существует пропорциональная зависимость. Однопроцентное отклонение частоты приведет к такому же изменению скорости двигателя.

Частотный показатель является одним из основных параметров, по которым оценивается качество электроэнергии в энергосистемах. Кроме того, он показывает соответствие между вырабатываемой и потребляемой мощностями. Допустимое значение частотных колебаний в энергетической системе разрешается не выше 0,2 Гц. Причем при приближении к крайнему показателю энергетики принимают немедленные меры для его возвращения в диапазон колебаний ±0,05 Гц. Хотя минимальные пределы регламентированы в 0,4 Гц. Если частота снижается более значительно, может наступить ее лавинообразное падение из-за нарушения работы собственных нужд электростанции и впоследствии коллапс энергосистемы.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/3-15.jpg 720w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Автоматическая частотная разгрузка

С целью недопущения этих процессов устанавливается АЧР (автоматическая частотная разгрузка). При превышении мощности потребления над вырабатываемой и отсутствии резерва активной мощности АЧР на электроподстанциях в соответствии с установленными очередями автоматически отключают потребителей. Когда частота восстанавливается, происходит автоматическое включение в обратном порядке. Установки срабатывания ступеней АЧР регулируются по частотному значению и выдержке времени в секундах.

Важно! Согласно Правилам технической эксплуатации, автоматика частотной разгрузки не должна допускать снижения частотного показателя мене 45 Гц даже на минимальное время.

Частотомер

Частотные изменения позволяет регистрировать частотомер. Такие приборы конструируются с использованием нескольких способов измерения:

Дискретный счет. Применяется в цифровых приборах. Основан на вычислении количества сигналов за временную единицу;
Перезаряд конденсаторов. Усредненный показатель силы тока, при которой перезаряжается конденсатор, соразмерен частоте. Ток фиксируется амперметром, а шкала устройства представлена в герцах;
Сравнение частот. Прибором для использования этого способа часто является осциллограф, где происходит сравнение частотного значения с эталонным образцом;
Вибрационные частотомеры. Содержат тонкие пластины из металла, закрепленные с одной стороны, которые начинают колебаться под воздействием электро магнитного поля, создаваемого в приборе. Пластина, частота колебаний которой резонирует с частотой колебаний электромагнитного поля, покажет искомое значение. Приборы применяются для замеров частотного показателя в питающей сети.

Data-lazy-type="image" data-src="http://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/4-12.jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/4-12-150x150.jpg 150w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

1) активным сопротивлением

2) конденсатором

3) катушкой

Решение.

Генератор переменного тока, к которому подключён некоторый неизвестный элемент электрической цепи X X .

Из графика видно, что амплитуда силы тока линейно возрастает с ростом частоты. Так ведёт себя конденсатор. Действительно, напряжение на конденсаторе связано с зарядом на его обкладках соотношением По закону Ома, а значит, Отсюда получаем (используя соотношения для колебательного контура), что амплитуда колебаний силы тока равна

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

Если, при подключении неизвестного элемента электрической цепи к выходу генератора переменного тока с изменяемой частотой гармонических колебаний при неизменной амплитуде колебаний напряжения,

обнаружена зависимость амплитуды колебаний силы тока от частоты, представленная на рисунке, то этот элемент электрической цепи является

1) активным сопротивлением

2) конденсатором

3) катушкой

4) последовательно соединенными конденсатором и катушкой

Решение.

X , возбуждает в этом элементе вынужденные электромагнитные колебания. По характеру зависимости амплитуды колебаний силы тока от частоты при неизменной амплитуде колебаний напряжения можно установить качественно, что из себя представляет элемент X . Из графика видно, что амплитуда силы тока спадает с ростом частоты как Так ведет себя катушка индуктивности. Существует несколько способов в этом убедиться (на самом деле оба способа очень близки друг к другу).

Катушка обладает реактивным сопротивлением, связанным с частотой колебаний тока в ней и ее индуктивностью соотношением Генератор создает переменное напряжение и подает его на катушку. По закону Ома, амплитуды колебаний напряжения и тока, связаны с величиной реактивного сопротивления соотношением Именно такая зависимость от частоты нам и нужна.

Напряжение на катушке, согласно закону электромагнитной индукции, связано со скоростью изменения тока через нее соотношением По закону Ома, а значит, скорость изменения тока Отсюда получаем (используя соотношения для колебательного контура, а именно, связь амплитуды колебания некоторой величины и амплитуды колебания скорости изменения этой величины), что амплитуда колебаний силы тока равна

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

1) активным сопротивлением

2) конденсатором

3) катушкой

4) последовательно соединенными конденсатором и катушкой

Решение.

Генератор переменного тока, к которому подключен некоторый неизвестный элемент электрической цепи X , возбуждает в этом элементе вынужденные электромагнитные колебания. По характеру зависимости амплитуды колебаний силы тока от частоты при неизменной амплитуде колебаний напряжения можно установить качественно, что из себя представляет элемент X . Из рисунка видно, что амплитуда силы тока имеет достаточно резкий максимум при некотором определенном значении частоты. Такое поведение напоминает резонанс. Отсюда заключаем, что неизвестный элемент представляет собой колебательный контур, то есть последовательно соединенные конденсатор с катушкой. Резонанс происходит, когда частота генератора переменного тока совпадает с частотой собственных колебаний колебательного контура.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

1) активным сопротивлением

2) конденсатором

3) катушкой

4) последовательно соединенными конденсатором и катушкой

Решение.

Генератор переменного тока, к которому подключен некоторый неизвестный элемент электрической цепи X , возбуждает в этом элементе вынужденные электромагнитные колебания. По характеру зависимости амплитуды колебаний силы тока от частоты при неизменной амплитуде колебаний напряжения можно установить качественно, что из себя представляет элемент X . Из рисунка видно, что амплитуда колебаний силы тока не изменяется с ростом частоты. Так ведет себя активное сопротивление. Действительно, напряжение на активном сопротивлении связано с силой текущего через него тока соотношением По закону Ома,

А значит,

Следовательно, амплитуда колебаний тока не зависит от частоты и равна

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

Как изменится индуктивное сопротивление катушки при уменьшении частоты переменного тока в 4 раза?

1) не изменится

2) увеличится в 4 раза

3) уменьшится в 2 раза

4) уменьшится в 4 раза

Решение.

Индуктивное сопротивление катушки пропорционально циклической частоты текущего через нее переменного тока: Следовательно, уменьшение частоты переменного тока в 4 раза приведет к уменьшению индуктивного сопротивления также в 4 раза.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

При увеличении частоты переменного тока в 4 раза индуктивное сопротивление катушки

1) не изменится

2) увеличится в 4 раза

3) уменьшится в 2 раза

4) уменьшится в 4 раза

Решение.

Индуктивное сопротивление катушки пропорционально циклической частоте текущего через нее переменного тока: Следовательно, увеличение частоты переменного тока в 4 раза приведет к увеличению индуктивного сопротивления также в 4 раза.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

По участку цепи с сопротивлением R течет переменный ток. Как изменится мощность переменного тока на этом участке цепи, если действующее значение силы тока на нем увеличить в 2 раза, а его сопротивление в 2 раза уменьшилось?

1) не изменится

2) увеличится в 2 раза

3) уменьшится в 3 раза

4) увеличится в 4 раза

Решение.

Мощность переменного тока на участке цепи с сопротивлением пропорциональна произведению квадрата действующего значения тока и величины сопротивления. Следовательно, увеличение действующего значения тока в 2 раза и уменьшение сопротивления в 2 раза приведет к увеличению мощности тока на этом участке цепи в 2 раза.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

На рисунке приведены осциллограммы напряжений на двух различных элементах электрической цепи переменного тока. Колебания этих напряжений имеют

1) одинаковые периоды, но различные амплитуды

2) различные периоды, но одинаковые амплитуды

3) различные периоды и различные амплитуды

4) одинаковые периоды и одинаковые амплитуды

Решение.

Амплитудой называется величина максимального отклонения от положения равновесия (это половина размаха колебаний). Периодом называется минимальное время, через которое колебание повторяется. Из графика видно, что амплитуды колебаний отличаются в три раза, а периоды колебаний совпадают.

Ответ: 1

Решение.

Период колебаний связан с частотой соотношением Следовательно, период колебаний напряжения на искомом графике должен быть равен

Действующим значением напряжения называют постоянное напряжение, действие которого производит равнозначную работу, что и рассматриваемое переменное напряжение за время одного периода. Для гармонического переменного тока значения действующего напряжения и амплитуды колебания связаны соотношением: Следовательно, для тока с действующим напряжением около 380 В амплитуда колебания должна быть порядка (поскольку значение действующего напряжения давно с некоторой погрешностью, значение амплитуды также получается с такой же относительной погрешностью). Таким образом, промышленному переменному напряжению соответствует график 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

Какой из приведенных ниже графиков зависимости напряжения от времени соответствует промышленному переменному напряжению (частота 50 Гц, действующее значение напряжения )?

Ток, периодически меняющийся по величине и направлению, называется переменным током. Представление о переменном токе можно получить, если медленно вращать ручку действующей модели генератора, подключенного к гальванометру. Отклонение стрелки гальванометра то вправо, то влево говорит о периодическом изменении величины и направления тока в цепи, т. е. о переменном токе.

Переменный ток, используемый в производстве и быту, изменяется по синусоидальному закону:

i = I m sinω t ,

где i - значение переменного тока в любой момент времени, называемое мгновенным значением переменного тока. Величина I m , стоящая перед знаком синуса, называется амплитудой переменного тока.

Действующим значением переменного тока называется постоянный ток, который за время одного периода оказывает такое тепловое (механическое и др.) действие, как и данный переменный ток. Действующее значение для данного переменного тока есть величина постоянная и равная амплитудному значению, деленному на √2 , т. е.

I Д =	I m
	√2

Все определения и соотношения действующего значения переменного тока справедливы и для переменного напряжения.

Амперметр и вольтметр, работа которых основана на тепловом или механическом действии, при измерении переменного тока и напряжения показывают их действующие значения.

1. Мгновенное значение - величина тока соответствующая данному моменту времени

2. Амплитуда - это наибольшее положительное или отрицательное значение переменного тока. Величина ω , стоящая под знаком синуса, является угловой скоростью. Произведение угловой скорости на время (ωt ) представляет собой угол, возрастающий со временем.

Графиком переменного тока является синусоида (см. рис.).

График переменного тока

Амплитуда - максимальное мгновенное значение (наибольшее значение, которого достигает переменный ток).

Здесь амплитуда 20 мА

3. Периодом (T ) называется время, в течение которого происходит полное изменение (колебание) тока в проводнике.

Обозначается буквой Т

кликните по картинке чтобы увеличить

За один период совершается одно колебание переменного тока, т. е. период это время одного колебания. Одно колебание состоит из двух движений тока.

Частотой (f ) называется величина, выражающаяся числом полных колебаний тока за одну секунду. Частота измеряется в герцах (Гц). При частоте в 1 Гц происходит одно полное колебание тока за одну секунду.

Стандартной частотой переменного тока в СССР является частота 50 Гц, что соответствует 50 полным колебаниям тока за одну секунду.

Частота - величина, обратная периоду. Следовательно,

f = 1/T или T = 1/f

Переменный ток, как и постоянный, оказывает тепловое, механическое, магнитное и химическое действия. В формулы расчета теплового, механического, магнитного и химического действий переменного тока подставляется действующее значение переменного тока.

5. Фаза - это состояние переменного тока за определенный период времени

кликните по картинке чтобы увеличить

Переменные величины могут совпадать по фазе. Это значит что они одновременно достигают нулевых значений и одновременно достигают максимальных значений одинаковых направлений.

Здесь токи I1 и I2 совпадают по фазе

кликните по картинке чтобы увеличить

Здесь напряжения U1 и U2 находятся в противофазе.

Это значит что они одновременно достигают нулевых и максимальных значений противоположных направлений.

Если переменные величины не совпадают по фазе, то говорят что они сдвинуты по фазе.Сдвиг по фазе выражается в градусах или в долях периода. Весь период 360 0 , так как период получается за один полный оборот проводника по окружности в магнитном поле.

кликните по картинке чтобы увеличить

Здесь напряжение отстает от тока на 90 0 , т. е. ток и напряжение сдвинуты по фазе на 90 0 .

Действительно в начале ток уже достиг максимума, а напряжение находится на нуле. Напряжение достигнет максимума через 90 0 .

Сдвиг по фазе обозначается греческой буквой φ например φ=90 0 .

Допустим, что до отключения в цепи рис. 4.5, а был установившийся ток I = U/r и энергия магнитного поля катушки составляла

WL = I 2 L /2.

Казалось бы, после размыкания выключателя ток должен мгновенно прекратиться. Однако на основании первого закона коммутации при t = 0+ ток сохраняет свое прежнее значение.

Возникает как будто несоответствие: цепь разомкнута, ток есть. В действительности при размыкании выключатели происходит следующее. Ток уменьшается, и в катушке индуктируется значительная ЭДС. При этом напряжение между контактами выключателя, равное сумме напряжения сети и ЭДС самоиндукции, пробивает воздушный промежуток между контактами - возникает электрическая дуга и электрическая цепь оказывается замкнутой. По мере увеличения расстояния между контактами сопротивление дуги возрастает, ток и ЭДС уменьшаются и цепь оказывается разомкнутой. За время переходного процесса энергия магнитного поля катушки выделяется в виде теплоты в электрической дуге и сопротивлении катушки.

Переходный процесс в этом случае получается довольно сложным вследствие того, что сопротивление дуги нелинейное и изменяется во времени.

Отключение цепи с индуктивностью вызывает обгорание контактов размыкающего устройства и появление значительных ЭДС и напряжения на выводах катушки, превышающих в несколько раз напряжение сети (это может привести к пробою изоляции катушки).

Во избежание этого в силовых цепях, обладающих значительной индуктивностью (обмотки возбуждения генераторов и двигателей постоянного тока, синхронных двигателей, магнитных плит и т. п.), параллельно обмоткам включают разрядные резисторы (рис. 4.5, б ).

В этом случае после отключения выключателя катушка индуктивности (r , L ) оказывается замкнутой на разрядное сопротивление r р . Ток в цепи будет убывать значительно медленнее. По этой причине значение возникающей ЭДС будет существенно меньше, чем без разрядного резистора, и возникшая слабая дуга исчезает почти мгновенно. В последующих рассуждениях и выводах предполагается, что дуга между контактами не возникает и цепь размыкается мгновенно.

Уравнение цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид

e = i (r + r p ).

Заменив e в (4.29), получим

Ldi/dt + i (r + r p ) = 0.

Решением дифференциального уравнения будет выражение

i = Aept .

Из характеристического уравнения pL+ (r + r p )= 0 определяют показатель степени р:

р = -	r + r p	= -	1	.
	L		Т

Подставив это выражение в (4.31), получим

i = Ae - t/T ,

где Т = L / (r + r p ) - постоянная времени цепи.

Значение А определяют из начальных условий на основании первого закона коммутации: приt = 0+

i = I нач =U/r и A = U/r.

Выражение тока в цепи имеет вид

i =	U	e - t/T = I нач e-t/T .
	r

Подставив в (4.29) значение i из (4.32), получим ЭДС

е =	U	(r + r p )e-t/T = I нач (r + r p )e-t/T .
	r

Напряжение на выводах катушки равно напряжению на разрядном резисторе:

u к = ir р =	U	r p e-t/T - I нач r p e-t/T .
	r

В начальный момент при t = 0+

e нач = I нач (r + r p ),

u к.нач = I нач r p .

Из выражений (4.33) и (4.34) вытекает, что начальные значения e нач и u к.нач зависят от сопротивления разрядного резистора. При больших значениях r р они могут оказаться чрезмерно большими и опасными для изоляция установки.

На рис. 4.5, в изображены графики i (t ) и u к (t ) катушки после отключения цепи для двух значений r р , r р > r" р .

На практике обычно выбирают r р в 4-8 раз больше собственного сопротивления обмотки индуктивной катушки:

r р = (4÷8)r .

Темы кодификатора ЕГЭ : свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания - это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур - это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания - периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия - только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент : . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Рис. 1.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия . Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Рис. 2.

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же - координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Рис. 3.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия . Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть : . Конденсатор перезаряжается - на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Рис. 4.

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться влево - от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Рис. 5.

Аналогия . Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть : . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Рис. 6.

Аналогия . Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Рис. 7.

Аналогия . Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть : . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Рис. 8.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться вправо - от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода : . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Рис. 9.

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок - рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия . Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими - они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Таким образом,

(1)

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

(2)

Здесь, как вы уже поняли, - жёсткость пружины, - масса маятника, и - текущие значения координаты и скорости маятника, и - их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

(3)

(4)

(5)

(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона . Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока - ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора - это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае - заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому class="tex" alt="\dot{q} > 0"> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

(8)

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если - функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

(9)

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

(10)

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

(11)

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

(12)

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз - по закону синуса:

(13)

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.