Зависимость индуктивности от сопротивления. Активное сопротивление и катушка индуктивности в цепи переменного тока

Электрический ток в проводниках непрерывно связан с магнитным и электрическими полями. Элементы, характеризующие преобразование электромагнитной энергии в тепло, называются активными сопротивлениями (обозначаются R). Типичными представителями активных сопротивлений являются резисторы, лампы накаливания, электрические печи и т.д.

Индуктивное сопротивление. Формула индуктивного сопротивления.

Элементы, связанные с наличием только магнитного поля, называются индуктивностями. Индуктивностью обладают катушки , обмотки и . Формула индуктивного сопротивления:

где L — индуктивность.

Емкостное сопротивление. Формула емкостного сопротивления.

Элементы, связанные с наличием электрического поля, называются емкостями. Емкостью обладают конденсаторы, длинные линии электропередачи и т.д. Формула емкостного сопротивления:

где С — емкость.

Суммарное сопротивление. Формулы суммарного сопротивления.

Реальные потребители электрической энергии могут иметь и комплексное значение сопротивлений. При наличии активного R и индуктивного L сопротивлений значение суммарного сопротивления Z подсчитывается по формуле:

Аналогично ведется подсчет суммарного сопротивления Z для цепи активного R и емкостного C сопротивлений:

Потребители с активным R, индуктивным L и емкостным C сопротивлениями имеют суммарное сопротивление:

§ 54. Индуктивность в цепи переменного тока

Прохождение электрического тока по проводнику или катушке сопровождается появлением магнитного поля. Рассмотрим электрическую цепь переменного тока (рис. 57, а), в которую включена катушка индуктивности, имеющая небольшое количество витков проволоки сравнительно большого сечения, активное сопротивление которой можно считать практически равным нулю.
Под действием э. д. с. генератора в цепи протекает переменный ток, возбуждающий переменный магнитный поток. Этот поток пересекает «собственные» витки катушки и в ней возникает электродвижущая сила самоиндукции

где L - индуктивность катушки;
- скорость изменения тока в ней.
Электродвижущая сила самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда противодействует причине, вызывающей ее. Так как э. д. с. самоиндукции всегда противодействует изменениям переменного тока, вызываемым э. д. с. генератора, то она препятствует прохождению переменного тока. При расчетах это учитывается по индуктивному сопротивлению, которое обозначается X L и измеряется в омах.

Таким образом, индуктивное сопротивление катушки X L , зависит от величины э. д. с. самоиндукции, а следовательно, оно, как и э. д. с. самоиндукции, зависит от скорости изменения тока в катушке (от частоты ω) и от индуктивности катушки L

X L = ωL , (58)

где X L - индуктивное сопротивление, ом ;
ω - угловая частота переменного тока, рад/сек ;
L - индуктивность катушки, гн .
Так как угловая частота переменного тока ω = 2πf , то индуктивное сопротивление

X L = 2πf L , (59)

где f - частота переменного тока, гц .

Пример. Катушка, обладающая индуктивностью L = 0,5 гн , присоединена к источнику переменного тока, частота которого f = 50 гц . Определить:
1) индуктивное сопротивление катушки при частоте f = 50 гц ;
2) индуктивное сопротивление этой катушки переменному току, частота которого f = 800 гц .
Решение . Индуктивное сопротивление переменному току при f = 50 гц

X L = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,5 = 157 ом .

При частоте тока f = 800 гц

X L = 2πf L = 2 · 3,14 · 800 · 0,5 = 2512 ом .

Приведенный пример показывает, что индуктивное сопротивление катушки повышается с увеличением частоты переменного тока, протекающего по ней. По мере уменьшения частоты тока индуктивное сопротивление убывает. Для постоянного тока, когда ток в катушке не изменяется и магнитный поток не пересекает ее витки, э. д. с. самоиндукции не возникает, индуктивное сопротивление катушки X L равно нуло. Катушка индуктивности для постоянного тока представляет собой лишь сопротивление

Выясним, как изменяется з. д. с. самоиндукции, когда по катушке индуктивности протекает переменный ток.
Известно, что при неизменной индуктивности катушки э. д. с. самоиндукции зависит от скорости изменения силы тока и она всегда направлена навстречу причине, вызвавшей ее.
На графике (рис. 57, в) переменный ток показан в виде синусоиды (сплошная линия). В первую четверть периода сила тока возрастает от нулевого до максимального значения. Электродвижущая сила самоиндукции е с, согласно правилу Ленца, препятствует увеличению тока в цепи. Поэтому на графике (пунктирной линией) показано, что ес в это время имеет отрицательное значение. Во вторую четверть периода сила тока в катушке убывает до нуля. В это время э. д. с. самоиндукции изменяет свое направление и увеличивается, препятствуя убыванию силы тока. В третью четверть периода ток изменяет свое направление и постепенно увеличивается до максимального значения; э. д. с. самоиндукции имеет положительное значение и далее, когда сила тока убывает, э. д. с. самоиндукции опять меняет свое направление и вновь препятствует уменьшению силы тока в цепи.

Из сказанного следует, что ток в цепи и э. д. с. самоиндукции не совпадают по фазе. Ток опережает э. д. с. самоиндукции по фазе на четверть периода или на угол φ = 90°. Необходимо также иметь в виду, что в цепи с индуктивностью, не содержащей г, в каждый момент времени электродвижущая сила самоиндукции направлена навстречу напряжению генератора U . В связи с этим напряжение и э. д. с. самоиндукции е с также сдвинуты по фазе друг относительно друга на 180°.
Из изложенного следует, что в цепи переменного тока, содержащей только индуктивность, ток отстает от напряжения, вырабатываемого генератором, на угол φ = 90° (на четверть периода) и опережает э. д. с. самоиндукции на 90°. Можно также сказать, что в индуктивной цепи напряжение опережает по фазе ток на 90°.
Построим векторную диаграмму тока и напряжения для цепи переменного тока с индуктивным сопротивлением. Для этого отложим вектор тока I по горизонтали в выбранном нами масштабе (рис. 57, б.)
Чтобы на векторной диаграмме показать, что напряжение опережает по фазе ток на угол φ = 90°, откладываем вектор напряжения U вверх под углом 90°. Закон Ома для цепи с индуктивностью можно выразить так:

Следует подчеркнуть, что имеется существенное отличие между индуктивным и активным сопротивлением переменному току.
Когда к генератору переменного тока подключена активная нагрузка, то энергия безвозвратно потребляется активным сопротивлением.
Если же к источнику переменного тока присоединено индуктивное сопротивление r = 0, то его энергия, пока сила тока возрастает, расходуется на возбуждение магнитного поля. Изменение этого поля вызывает возникновение э. д. с. самоиндукции. При уменьшении силы тока энергия, запасенная в магнитном поле, вследствие возникающей при этом э. д. с. самоиндукции возвращается обратно генератору.
В первую четверть периода сила тока в цепи с индуктивностью возрастает и энергия источника тока накапливается в магнитном поле. В это время э. д. с. самоиндукции направлена против напряжения.
Когда сила тока достигнет максимального значения и начинает во второй четверти периода убывать, то э. д. с. самоиндукции, изменив свое направление, стремится поддержать ток в цепи. Под действием э. д. с. самоиндукции энергия магнитного поля возвращается к источнику энергии - генератору. Генератор в это время работает в режиме двигателя, преобразуя электрическую энергию в механическую.
В третью четверть периода сила тока в цепи под действием э. д. с. генератора увеличивается, и при этом ток протекает в противоположном направлении. В это время энергия генератора вновь накапливается в магнитном поле индуктивности.
В четвертую четверть периода сила тока в цепи убывает, а накопленная в магнитном поле энергия при воздействии э. д. с. самоиндукции вновь возвращается генератору.
Таким образом, в первую и третью четверть каждого периода генератор переменного тока расходует свою энергию в цепи с индуктивностью на создание магнитного поля, а во вторую и четвертую четверть каждого периода энергия, запасенная в магнитном поле катушки в результате возникающей э. д. с. самоиндукции, возвращается обратно генератору.
Из этого следует, что индуктивная нагрузка в отличие от активной в среднем не потребляет энергию, которую вырабатывает генератор, а в цепи с индуктивностью происходит «перекачивание» энергии от генератора в индуктивную нагрузку и обратно, т. е. возникают колебания энергии.
Из сказанного следует, что индуктивное сопротивление является реактивным. В цепи, содержащей реактивное сопротивление, происходят колебания энергии от генератора к нагрузке и обратно.

Реактивное сопротивление – электрическое сопротивление переменному току, обусловленное передачей энергии магнитным полем в индуктивностях или электрическим полем в конденсаторах.

Элементы, обладающие реактивным сопротивлением, называют реактивными.

Реактивное сопротивление катушки индуктивности.

При протекании переменного тока I в катушке, магнитное поле создаёт в её витках ЭДС, которая препятствует изменению тока.
При увеличении тока, ЭДС отрицательна и препятствует нарастанию тока, при уменьшении - положительна и препятствует его убыванию, оказывая таким образом сопротивление изменению тока на протяжении всего периода.

В результате созданного противодействия, на выводах катушки индуктивности в противофазе формируется напряжение U , подавляющее ЭДС, равное ей по амплитуде и противоположное по знаку.

При прохождении тока через нуль, амплитуда ЭДС достигает максимального значения, что образует расхождение во времени тока и напряжения в 1/4 периода.

Если приложить к выводам катушки индуктивности напряжение U , ток не может начаться мгновенно по причине противодействия ЭДС, равного -U , поэтому ток в индуктивности всегда будет отставать от напряжения на угол 90°. Сдвиг при отстающем токе называют положительным.

Запишем выражение мгновенного значения напряжения u исходя из ЭДС (ε ), которая пропорциональна индуктивности L и скорости изменения тока: u = -ε = L(di/dt) .
Отсюда выразим синусоидальный ток .

Интегралом функции sin(t) будет -соs(t) , либо равная ей функция sin(t-π/2) .
Дифференциал dt функции sin(ωt) выйдет из под знака интеграла множителем 1/ω .
В результате получим выражение мгновенного значения тока со сдвигом от функции напряжения на угол π/2 (90°).
Для среднеквадратичных значений U и I в таком случае можно записать .

В итоге имеем зависимость синусоидального тока от напряжения согласно Закону Ома, где в знаменателе вместо R выражение ωL , которое и является реактивным сопротивлением:

Реактивное сопротивлениие индуктивностей называют индуктивным.

Реактивное сопротивление конденсатора.

Электрический ток в конденсаторе представляет собой часть или совокупность процессов его заряда и разряда – накопления и отдачи энергии электрическим полем между его обкладками.

В цепи переменного тока, конденсатор будет заряжаться до определённого максимального значения, пока ток не сменит направление на противоположное. Следовательно, в моменты амплитудного значения напряжения на конденсаторе, ток в нём будет равен нулю. Таким образом, напряжение на конденсаторе и ток всегда будут иметь расхождение во времени в четверть периода.

В результате ток в цепи будет ограничен падением напряжения на конденсаторе, что создаёт реактивное сопротивление переменному току, обратно-пропорциональное скорости изменения тока (частоте) и ёмкости конденсатора.

Если приложить к конденсатору напряжение U , мгновенно начнётся ток от максимального значения, далее уменьшаясь до нуля. В это время напряжение на его выводах будет расти от нуля до максимума. Следовательно, напряжение на обкладках конденсатора по фазе отстаёт от тока на угол 90 °. Такой сдвиг фаз называют отрицательным.

Ток в конденсаторе является производной функцией его заряда i = dQ/dt = C(du/dt) .
Производной от sin(t) будет cos(t) либо равная ей функция sin(t+π/2) .
Тогда для синусоидального напряжения u = U amp sin(ωt) запишем выражение мгновенного значения тока следующим образом:

i = U amp ωCsin(ωt+π/2) .

Отсюда выразим соотношение среднеквадратичных значений .

Закон Ома подсказывает, что 1/ωC есть не что иное, как реактивное сопротивление для синусоидального тока:

Реактивное сопротивление конденсатора в технической литературе часто называют ёмкостным. Может применяться, например, в организации ёмкостных делителей в цепях переменного тока.

Онлайн-калькулятор расчёта реактивного сопротивления

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.
При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Мы знаем, что на встречу нарастающему току генератора идет ток самоиндукции катушки. Вот это противодействие тока самоиндукции катушки нарастающему току генератора и называется индуктивным сопротивлением.

На преодоление этого противодействия затрачивается часть энергии переменного тока генератора. Вся эта часть энергии полностью превращается в энергию магнитного поля катушки. Когда ток генератора будет убывать, магнитное поле катушки также будет убывать, пресекая катушку и индуктируя в цепи ток самоиндукции. Теперь ток самоиндукции будет идти в одном направлении с убывающим током генератора.

Таким образом вся энергия затраченная током генератора на преодоление противодействия тока самоиндукции катушки полностью вернулась в цепь в виде энергии электрического тока. Поэтому индуктивное сопротивление является реактивным, т. е. не вызывающим безвозвратных потерь энергии.

Единицей измерения индуктивного сопротивления является Ом

Индуктивное сопротивление обозначается X L .

Буква X- означает реактивное сопротивление, а L означает что это реактивное сопротивление является индуктивным.

f- частота Гц, L- индуктивность катушки Гн, X L- индуктивное сопротивление Ом

Соотношение между фазами U и I на X L

Так как активное сопротивление катушки по условию равно нулю (чисто индуктивное сопротивление), то все напряжение приложенное генератором к катушке идет на преодоление э. д. с. самоиндукции катушки. Это значит что график напряжения приложенного генератором к катушке равен по амплитуде графику э. д. с. самоиндукции катушки и находится с ним в противофазе.

Напряжение приложенное генератором к чисто индуктивному сопротивлению и ток идущий от генератора по чисто индуктивному сопротивлению сдвинуты по фазе на 90 0 ,т. е. напряжение опережает ток на 90 0.

Реальная катушка кроме индуктивного сопротивления имеет еще и активное сопротивление. Эти сопротивления следует считать соединенными последовательно.

На активном сопротивлении катушки напряжение приложенное генератором и ток идущий от генератора совпадают по фазе.

На чисто индуктивном сопротивлении напряжение приложенное генератором и ток идущий от генератора сдвинуты по фазе на 90 0 . Напряжение опережает ток на 90 0 . Результирующее напряжение приложенное генератором к катушке определяется по правилу параллелограмма.

кликните по картинке чтобы увеличить

Результирующее напряжение приложенное генератором к катушке всегда опережает ток на на угол меньший 90 0 .

Величина угла φ зависит от величин активного и индуктивного сопротивлений катушки.

О результирующем сопротивлении катушки

Результирующее сопротивление катушки нельзя находить суммированием величин её активного и реактивного сопротивлений .

Результирующее сопротивление катушки Z равно