Аксиоматика теории множеств. Теория множеств

Стоит отметить, когда речь идет о двух и более множествах, то между ними могут быть какие-либо отношения или нет. Если множества находятся в каких-либо отношениях, то речь идет или об отношении равенства или отношении включении .

Множество А включается во множество В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначается данное отношение так: A⊂B. Или, по-другому говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Множества А и В называются равными , тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В и вместе с этим каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначается данное отношение так: А=В

Например:

1) A={a,b,c,d} и B={b,d}, эти множества находятся в отношении включения B⊂A, т.к. каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

2) M={x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)

Рисунок 4 - Числовой промежуток

3) A={x|x∈N∧x:2}={2,4,6,8,10,...} и B={x|x∈N∧x:3}={3,6,9,12,...}, эти два множества не находятся ни в каких отношениях A⊄B, так как во множестве А есть элемент 2, не принадлежащий множеству В

и B⊄A, т.к. во множестве В есть элемент 3, не принадлежащий множеству А.

Следовательно, данные множества не находятся ни в каких отношениях.

III. Операции и свойства операций над множествами

Опр.1. Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.

A∩B={x|x∈A∧x∈B}

Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).

A∪B={x|x∈A∨x∈B}

Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.

А\ В ={x∈A∧x∉B}

Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.

Выражения с множествами

Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С.

Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.

Порядок выполнения операций

если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.

Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)" .

Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.

Круги Эйлера

Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником

Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)"∩С.

Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)"∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения

Свойства операции над множествами (рис.5)

Свойства I - 8 и 1 0 - 8 0 связаны между собой гак называемым принципом двойственности:

если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств.

IV. Разбиение множества на классы

Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) пересечение любых двух подмножеств пусто;

2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

V. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А×В={(x,y)|x∈A˄y∈B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В — числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.

VI. Правила суммы и произведения

Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются, то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются, то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В).

Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) . n (В).

Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств в комбинаторике носит название прави-ла суммы, если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у — m способами, причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно осуществить k + m способами.

Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y - m способами, то пару (х,y) можно выбрать km способами.

VII. Список использованных источников

Асеев Г.Г. Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: «Феникс», Харьков: «Торсинг», 2003, -144с.

Виленкин Н. Я. Алгебра. Учебное пособие для IX - X классов средних школ с математической специализацией, 1968

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Изд-во «Наука». - 1965. - 128с

Диаграммы Эйлера - Венна.URL:http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html

Киреенко С.Г., Гриншпон И. Э. Элементы теории множеств (учебное пособие). - Томск, 2003. - 42 с.

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир, 1970, - 416с.

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC -- теория Цермело -- Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более -- о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Аксиомы теории множеств

Сейчас у нас имеются все средства, чтобы сформулировать систему аксиом теории множеств ZFC, в рамках которой можно изложить все общепринятые в современной математике способы рассуждений и не проходит ни один из известных теоретико-множественных парадоксов. Эта система позволяет строить все математические объекты исходя из пустого множества. Представим систему аксиом, Цермело -- Френкеля (ZF).

Аксиома существования пустого множества: Существует пустое множество;

Аксиома существования пары: Если существуют множества а и b, то существует множество a, b ;

Аксиома суммы: Если существует множество X, то существует множество X=a a b для некоторого b X;

Аксиома бесконечности: Существует множество = 0, 1,…,n,… , где 0 = , n + 1 = n n ;

Аксиома множества всех подмножеств: Если существует множество А, то существует множество:

6. Аксиома замены: Если P(x, у) -- некоторое условие на множества x, у , такое, что для любого множества x существует не более одного множества у , удовлетворяющего Р(х, у), то для любого множества а существует множество {b P(c,b) для некоторого с а};

7. Аксиома экстенсиональности:

Два множества, имеющие одинаковые элементы, равны, любое множество определяется своими элементами:

8. Аксиома регулярности:

Всякое непустое множество x имеет элемент а х, для которого

Из аксиомы регулярности следует, что каждое множество получается на некотором шаге "регулярного процесса" образования множества всех подмножеств, начинающегося с и подобного построению натуральных чисел из пустого множества по аксиоме бесконечности. Это означает, что любой элемент любого множества является множеством, сконструированным из пустого множества.

Покажем, как аксиоматика ZF позволяет определять теоретико-множественные операции.

1. Определим множество A В, исходя из множеств А к В. По аксиоме существования пары образуется множество {А, В}. С помощью аксиомы суммы получаем множество {A, B}, которое по определению совпадает с множеством A B.

2. Пересечение А В множеств А и В определяется по аксиоме замены с помощью следующего свойства Р(х, у): х = у и х А. Имеем множество {b P(c,b) и с В} = {b с = b и с А и с В} = {c с А и с В}.

3. Покажем, что из аксиом 5 и 6 следует существование множества А 2 = {(a, b) a, b А} для любого множества А. Так как (a, b) = , то А 2 P(Р(А)). Пусть свойство Р(х, у) означает, что существуют такие a, b А, что x = и y = х. Тогда множество А 2 равно {b P(c,b), c Р(Р(А))} и по аксиоме 6 оно существует.

Система аксиом ZFC образуется из ZF добавлением одной из следующих двух эквивалентных аксиом, которые, с одной стороны, являются наименее "очевидными", а с другой -- наиболее содержательными,

1. Аксиома выбора.

Для любого непустого множества А существует такое отображение: Р(А) {} A, что (Х) X |для всех X А, X .

2. Принцип полного упорядочения. Для любого непустого множества А существует бинарное отношение на А, для которого A, вполне упорядоченное множество.

В системе ZFC справедлив принцип трансфинитной индукции, являющийся обобщением принципа полной индукции: если A, - вполне упорядоченное множество, Р(х) -- некоторое свойство, то справедливость свойства Р(х) на всех элементах х А следует из того, что для любого z А выполнимость свойства Р на элементах у, где у < z, влечет выполнимость P(z):

• a}, {a, b
• а}, {а, b

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом , , а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном , Бернайсом и Гёделем . (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение.

Определение. X

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для

Определение. Pr(X) служит сокращением для

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ).

Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами,

П р и м е р. Выражение

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y

Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все наше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы позволяют строить новые множества из уже имеющихся множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом, приведенных в главе I. Существенное различие заключается в том, что здесь мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами являются множествами, то есть будем рассматривать семейство множеств (A, B, X, Y, …).

Повторим, прежде всего, аксиому объемности.

I . Аксиома объемности.

Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

С помощью символов эту аксиому можно записать в виде:

II . Аксиома существования пустого множества.

Существует такое множество
, что ни один элемент x ему не принадлежит:

.

II ".Аксиома пары.

Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b :

.

III . Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств
существует множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству
, принадлежащему
: .

Согласно аксиоме I, существует не более одного такого множества S .

Действительно, если

для произвольного x

и, согласно аксиоме I,
.

Так как, аксиома III утверждает существование по крайней мере одного такого множества S , то отсюда следует, что для каждого
множестваS определено однозначно. Назовем его суммой множеств , принадлежащих семейству
, и будем обозначатьS (A ) или
.

IV . Аксиома степени. Для каждого множества A существует семейство множеств P , элементами которого являются все подмножества множества A и только они:
.

Легко доказать, что множество A однозначно определяет семейство P . Оно (P ) называется его (A ) степенью и обозначается
.

V . Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств A , которому принадлежит O и, если
, то в A найдется элемент Y , состоящий из всех элементов множества X и самого множества X :

.

Таким образом, семейству A принадлежит множество O , множество N 1 , единственными элементами которого являются O и N 1 , и так далее.

VI . Аксиома выбора. Для каждого семейства A пустых непересекающихся множеств существует множество B , имеющее один общий элемент с каждым из множеств
:

Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что высказывательная функция утверждает существование такого элементаx , что условия
и
эквивалентны. Поэтому элементx – единственный элемент произведения
, и рассматриваемая высказывательная функция утверждает, что это произведение имеет только один элемент.

Для произвольной высказывательной функции Ф(x ) примем следующую аксиому:
.

- это аксиома зависит от остальных, поэтому мы не даем ей отдельного номера.

. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества A существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые (будучи подставлены на место переменных x ) удовлетворяют Ф.

Символически эту аксиому можно записать в следующем виде (полагая, что переменная B не встречается в Ф ):

Если в Ф(x ) встречаются (свободные) переменные, отличные от x , то они играют роль параметров, от которых зависит B .

Очевидно, что множество B однозначно определяется высказывательной функцией Ф(x ) , множеством A и выбором переменной x .

Мы будем обозначать его
или
и читать: «множество техx из A , которые удовлетворяют Ф(x ) ».

Для каждой высказывательной функции, не содержащей переменных x и B , примем следующую аксиому.

. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого x существует единственный элемент y , такой, что выполняется Ф( x ), то для каждого множества A существует множество B , состоящее из тех и только тех элементов y , которые при некотором
выполняют Ф( x ).

Положим интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что условие аксиомы истинно, то есть для каждого x существует только один элемент y , выполняющий Ф(x ) . Назовем этот элемент y последователем элемента x . Аксиома
утверждает, что тогда для каждого множестваA существует множество B , состоящее из всех последователей элементов множества A и только из них.

Например, пусть
, тогда последователем множестваX будем множество 2 x . Аксиома замены утверждает, что для каждого семейства множества A существует семейство множеств B , элементами которого является множество 2 x , где
.

Аксиомы I – VI и все аксиомы
(а из число бесконечно), гдеФ – произвольная высказывательная функция из класса , образуют (бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать
. Опуская в
аксиому выбора (VI), получаем новую систему аксиом и обозначим ее .

Роль, которую в теории множеств играют отдельные аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их следствиями. Здесь мы сделаем только несколько общих заключений.

Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую роль.

В одних случаях аксиомы полностью характеризуют теорию, то есть они в каком-то смысле определяют первичные понятия этой теории.

Например, в теории групп мы определяем группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам этой теории.

В других случаях аксиомы формализуют только некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих понятий.

Именно вот такое назначение и будут иметь аксиомы в дальнейших разделах теории множеств.

Аксиомы III, IV, VI,
являются так называемымиусловными аксиомами существования : они позволяют делать заключения о существовании определенных множеств при условии, что существуют другие множества.

Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, VI,
, однозначны.

В то же время аксиома VI не определяет однозначно множество, существование которого она утверждает: для данного семейства A непустых непересекающихся множеств существует, вообще говоря, много множеств B удовлетворяющих аксиоме выбора.

Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом существования: они постулируют существование некоторых множеств и не ограничены никакими условиями.